Twierdzenie o indeksie WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie, dla pewności. Korzystając z twierdzenia o indeksie oblicz wymiary podanych przestrzeni: (1) { P ∊ R5[x]: P(−x) = P(x)} (2) { P ∊ R3[x]: ∫01P(x) dx = P'(1) = 0} (3) { P ∊ R3[x]: xP'''(x) + P''(x) = 0} (4) { A ∊ M2x2: A = 2AT}
 1 
(1)

(P(x) + P(−x)) = bx4 + dx2 + f, stąd dimImF = 3, dimkerF = 3
 2 
(2) ∫01P(x) dx = 0 oraz P'(1) = 0, stąd układ dwóch równań:
1 1 1 1 1 1 

a +

b +

c + d = 0 ⇒ d = −

a −

b −

c
4 3 2 4 3 2 
3a + 2b + c = 0 ⇒ c = −3a − 2b
 7 4 7 4 
Czyli d = −

a −

b, stąd P(x) = a(x3 − 3x −

) + b(x2 − 2x −

)
 4 3 4 3 
dimkerF = 2, dimImF = 2 (3) dimImF = 2, dimkerF = 2 (bo funkcjami zerowymi będą przekształcenia funkcji stałych oraz liniowych)
 
nawias
−a b−2c
nawias
nawias
c−2b −d
nawias
 
(4) A − 2AT =
, stąd a = b = c = d = 0
  
dimkerF = 0, dimImF = 4
15 lip 21:28
Adamm: Co mówi twierdzenie o indeksie? wymiar obrazu + wymiar jądra = wymiar wyjściowej przestrzeni ?
15 lip 21:30
Adamm: jest źle już widzę na starcie
15 lip 21:32
WhiskeyTaster: Aj, aj, masz rację. Głupi błąd w (1). P(x) − P(−x) = 2ax5 + 2cx3 + 2ex, stąd dimImF = 3, a dimkerF = 3. A odpowiadając na pytanie: twierdzenie mówi tyle, że wymiar obrazu + wymiar jądra = wymiar dziedziny
15 lip 21:50
Adamm: Rozumiem, że F: P(x) → P(x)−P(−x)
15 lip 21:51
Adamm: 2) F(P(x)) = (∫01 P(x), P'(1)) dim ImF = 2 skąd dim KerF = 2
15 lip 21:56
Adamm: 3) xP'''(x)+P''(x) = (xP''(x))' F = DLD2, D − operator różniczkowania, L − mnożenie przez x D2(R3[x]) = R1[x] i łatwo zauważyć że DL(R1[x]) = R1[x] stąd dim ImF = 2, więc dim KerF = 2
15 lip 22:01
Adamm: 4) F: A → A−2AT
 
nawias
a b
nawias
nawias
c d
nawias
 
nawias
−a b−2c
nawias
nawias
c−2b −d
nawias
 
A =
to A−2AT =
skąd dim ImF = 4, więc dim KerF = 0
   
15 lip 22:04
Adamm: Miałeś dobrą intuicję, ale nie podałeś co to F. Po drugie, nie chodzi o to żeby obliczać wymiar bezpośrednio, raczej o to żeby znaleźć wymiar obrazu, przy czym F dobieramy tak, żeby nasza przestrzeń była jądrem przekształcenia F
15 lip 22:06
WhiskeyTaster: Rozumiem, czyli powinienem jeszcze podawać, jak wygląda F i dopiero na tym pracować. Dziękuję za sprawdzenie i uwagi, Adamm.
15 lip 22:18