dowód xyz: dowód, że funkcja lnx jest rosnąca czyli, jeżeli x2>x1 to i f(x2)>f(x1) to mam ln(x2)>ln(x1) no i z tego od razu wynika, że x2>x1 (bo e>1), czyli otrzymuję wcześniejsze założenie czy to jest ok?
11 lip 22:59
mat: to rozumienie byłoby w drugą stronęemotka Biorę x1 < x2 Pytam czy ln x1 < ln x2 ?
11 lip 23:25
mat:
 x1 
ln x1 − ln x2 = ln

 x2 
 x1 
x1 < x2 więc

<1 (oczywiście obie liczby x1 i x2 są dodatnie)
 x2 
 x1 
a zatem ln

<0
 x2 
więc ostecznie ln x1 − ln x2 <0
11 lip 23:27
Adamm: Zakładasz że wiadomo, że lnx<0 dla x<1, więc w pewnym sensie korzystasz z monotoniczności
11 lip 23:34
xyz: ale kto? mat czy ja?
11 lip 23:37
Adamm: http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon13/mon1305.pdf tutaj trzeba od podstaw patrz na własność 4
11 lip 23:37
Adamm: mat, ale u ciebie też jest źle
11 lip 23:37
mat: Nie no, to jest jasne przecież że aby otrzymać liczbę mniejszą od 1 muszę e [większe od 1] podnieść do ujemnej potęgi emotka
11 lip 23:39
Adamm: Oczywiście, zawsze można się wykpić i powiedzieć 'to jest jasne', ale to żaden dowód.
11 lip 23:40
Adamm: Dowód Sierpińskiego korzysta z tego że funkcja wykładnicza jest monotoniczna. Logarytm to funkcja odwrotna to wykładniczej. Ogólnie, jeśli f jest ściśle rosnąca, to jej odwrotność też.
11 lip 23:42
Adamm: własność 5 jest tutaj na stronie 111 http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon13/mon1304.pdf
11 lip 23:45
Adamm: Pomyłka, na stronie 111 jest dla wymiernych. Dla rzeczywistych jest dla 121.
11 lip 23:46
Adamm: Podsumowując − dowód nie jest trudny o ile wiemy że z x<y wynika ax<ay dla x, y rzeczywistych, a>1
11 lip 23:48
Adamm: Zawsze mnie śmieszyły takie zadania, bo przecież nie wiadomo co autor postu już wie i z czego może skorzystać.
11 lip 23:49
xyz: dobra, a gdybym nie musiał dowodzić z definicji, tylko ogólnie dowieść, to dowód z wykorzystaniem pochodnej wystarczy? PS. z którego roku ta książka jest? "wymiernem" , "nieprzywiedlny"
11 lip 23:50
Adamm: wymiernem to akurat tak, ale nieprzywiedlny jest zupełnie poprawne w obecnej polszczyźnie Książka jest z 1949 roku.
11 lip 23:53
mat: Adamm moim zdaniem NA PEWNO autorowi nie chodziło o pokazanie monotonicznosci przez rozważanie ,,z boku" czy zbioru liczb wymiernych jest gęsty w R i funkcja wykładnicza jest ciągła. Masz troche racji, ale zazwyczaj robimy jedno zadanie przyjmując jakąś tam wiedze startową.
11 lip 23:57
mat: Chyba że pan xyz jest na kierunku matematyka teoretyczna i to miało być celem tego zadania emotka
11 lip 23:58
wredulus_pospolitus: Adamm ... co do zakładania, że dla x<1 mamy lnx<0 cóż ... można to założyć, w końcu odwołując się do definicji logarytmu: logab = c ⇔ ac = b więc:
 x1 
ln (x1/x2) = c ⇔ ec =

< 1 ⇔ ec < e0 ⇔ c < 0 (o ile wiemy 23:48) ⇔
 x2 
⇔ ln(x1/x2) < 0
12 lip 01:39
wredulus_pospolitus: ostatnie winno być '⇒' emotka
12 lip 01:39
jc:
 dt 
ln x = ∫1x

 t 
 dt 
x < y, ln y − ln x = ∫xy

> 0
 t 
12 lip 08:32
mat: to już chyba łatwiej założyć, że wiemy że ex<1 ⇔x<0 emotka
12 lip 10:00
mat: tzn tak jak napisałem wyżej, dla wymiernych jest to oczywiste: Uwaga1: e1/n>1 dla każdego n∊N [bo gdyby e1/n=a<1 to e=a*...*a=an<1 sprzeczność Wniosek1: e−1/n<1 Uwaga2: e−m/n=(e−1/n)m<1 Wniosek: Dla każdego q∊Wymierne, q<0 mamy eq<1 I teraz rzeczwyiście jakbyśmy chcieli być bardzo porządni, to trzebaby się powołać na to że zbiór liczb wymiernych jest gęsty w R i funkcja ex jest ciągła (żeby pokazać, że jak x∊R, x<0 to ex<1) Ale no nie róbmy sobie jaj Nie o to chodzi w tym zadaniu
12 lip 10:06
jc: Zgadzam się z wypowiedzią Adamma z 22:49. Funkcja x→ex jest ciągła i rosnąca, zbiorem wartości jest przedział (0,). Dlatego, ograniczając przeciwdziedzinę do przedziału (0,), można ją odwrócić. Funkcja odwrotna (logarytm) też jest rosnąca.
12 lip 10:37