Uzasadnij WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie, czy to, co rozumuję jest wystarczające do rozwiązania dwóch zadań. (1) Uzasadnij, że jeśli P{i} jest wielomianem stopnia i, dla i = 0, 1, 2, ..., n, to P0, P1, ..., Pn stanowią bazę przestrzeni liniowej Rn[x]. (2) Uzasadnij, że przestrzenie liniowe R[x], C(R) oraz przestrzeń wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych są przestrzeniami nieskończenie wymiarowymi. (1) Niech i, k oznaczają stopień wielomianu. Weźmy więc i, k ∊ {0, ..., n} takie, że i ≠ k. Wówczas wielomiany Pi oraz Pk mają różne stopnie wielomianów, więc Pi ≠ Pk, stąd wielomiany (które traktujemy jako wektory w przestrzeni liniowej) są liniowo niezależne. Wobec tego wielomiany P0 ≠ P1 ≠ ... ≠ Pn, tak więc są one liniowo niezależne. Wobec tego mamy zbiór liniowo niezależny o liczbie elementów równym n + 1, co jest równe wymiarowi przestrzeni liniowej Rn[x]. Wobec tego zbiór wielomianów P0, ..., Pn są bazą przestrzeni liniowej Rn[x]. (2) Zacznijmy od R[x]: Weźmy wektory 1, x, x2, x3, ..., xn. Wiemy, że Lin{1, x, ..., xn} = Rn[x] oraz, że Rn[x] < R[x]. Wobec tego, dokładając wektor xn + 1 do już istniejącej bazy 1, x, ..., xn otrzymujemy nową bazę 1, x, ..., xn, xn + 1. I znowu Lin(1, x, ..., xn, xn + 1} = Rn + 1, w dodatku Rn[x] < Rn + 1[x] < R[x]. Powtarzając tę procedurę, zawsze znajdziemy dodatkowy liniowo niezależny wektor do już istniejącej bazy, która to nowa baza będzie generować podprzestrzeń przestrzeni R[x]. Wobec tego wymiar przestrzeni R[x] jest nieskończony. Myślę, że dla C(R) należy zrobić analogicznie biorąc jako wektory funkcje sinus, cosinus. Co do ciągów, to biorąc ciąg nieskończony, baza będzie wyglądała jakoś tak: 1, 1, 1, ... Czy wszystko to, co napisałem, jest wystarczające?
11 lip 00:43
Adamm: 1) źle 2) też źle
11 lip 00:48
Adamm: 2) 1, x, x2, x3, ..., xn, ... − wektory niezależne liniowo w R[x] ⇒ R[x] ma nieskończony wymiar Ale funkcje f0, f1, f2, f3, ..., fn, ... zdefiniowane przez fk(x) = xk też są niezależne liniowo więc C(R) też ma nieskończony wymiar w przestrzeni ciągów wystarczy wybrać ciągi ek = (ank)n∊N, takie, że ank = 1 gdy n = k, 0 w przeciwnym wypadku
11 lip 00:51
Adamm: 1) tutaj się przyda pochodna a0+P0+a1P1+...+anPn = 0 a0P0(n)+a1P1(n)+...+anPn(n) = 0 no ale Pk(n) = 0 dla k<n, a Pn(n) ≠ 0 skąd an = 0 dowód idzie przez indukcję
11 lip 00:55
Adamm: 2) Przepraszam, twoje rozwiązanie ujdzie. To dokładnie to samo co pokazać że 1, x, x2, ... są niezależne.
11 lip 00:57
WhiskeyTaster: Co do (1). Czyli różniczkowalność wielomianu świadczy o jego stopniu, stąd różniczkowanie całej sumy. I nasuwa mi się pewien wniosek: mówiąc, że wielomiany P(x) oraz Q(x) są różne, a mają inne stopnie, to tak naprawdę mówimy, że różniczkują się inną ilość razy? Bo intuicyjnym jest, że wielomian x2 ≠ x. W tym wypadku chodzi mi o zrozumienie tego, jak to powiązać z pochodną, skoro sam intuicyjny fakt nie wystarcza.
11 lip 01:45
Adamm: alternatywnie można powiedzieć tak anPn(x)+...+a0P0(x) = 0 współczynnikiem przy xn jest an*c, gdzie c współczynnik przy xn wielomianu Pn(x), niezerowego z założenia z równości wielomianów mamy an*c = 0, skąd an = 0 sprowadziliśmy tą równość do równości an−1Pn−1(x)+...+a0P0(x) = 0 i przez indukcję an−1 = ... = a0 = 0 = an
11 lip 02:31
WhiskeyTaster: Rozumiem. Trochę chciałem to robić na skróty i przyjąć, że wielomiany o różnych stopniach są liniowo niezależne "bo tak", zamiast pokazać, że tak faktycznie jest. Dziękuję za wyjaśnienia, Adamm.
11 lip 11:59