Równanie w liczbach naturalnych Jabluszko: Witam emotka 7x + 3y = 4 x, y mają być naturalne. Dochodzę do etapu, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach parzystych, a w nieparzystych ma tylko jedno rozwiązanie (x, y) = (1,1), ale nie potrafię wykazać, że dla x, y > 1 nie ma rozwiązań. Jakaś miła duszyczka chętna pomóc ?
3 lip 17:39
Jabluszko: Oczywiście źle napisałem, powinno być 7x − 3y = 4
3 lip 17:41
wredulus_pospolitus: aby: 7x − 3y = 4 to (7x − 3y) (mod 4) = 0 zauważmy, że 7 (mod 4) = 3 więc: (7x − 3y) (mod 4) ≡ (3x − 3y) (mod 4) ≡ 3y(3x−y − 1)(mod 4) oczywiście 3y (mod 4) ≠ 0 więc musi zachodzić: (3x−y − 1) (mod 4) = 0 , przy czym x ≤ y więc x−y ≤ 0 skoro x−y < 0 to 3x−y ≤ 1 ... więc (3x−y − 1) (mod 4) = 0 może zajść jedynie gdy 3x−y = 1 ... czyli gdy x = y Tak więc, wiemy że jedynymi (rzeczywistymi) rozwiązaniami które mają jakąkolwiek szansę spełniać to równanie będą pary spełniające równanie x = y Wstawiamy: 7x − 3x = 4 ⇔ (4+3)x − 3x = 4 zauważmy, że otrzymujemy: 4 = (4+3)x − 3x ≥ 4x + 3x − 3x = 4x 4 ≥ 4x −> x = 1 (jedyna naturalna liczba która może spełniać równanie) ... sprawdzamy: 71 − 31 = 7 − 3 = 4 supcio
3 lip 18:10
wredulus_pospolitus: na pewno można to zrobić w inny sposób emotka
3 lip 18:11
wredulus_pospolitus: ewentualnie zastanów się chwilę w jaki sposób wykazać dlaczego (dla x,y ∊ N+) musimy założyć x ≤ y co jest pomocne później w podaniu: więc x−y ≤ 0
3 lip 18:12
mat: Niech x, y>1 takie że 7x − 3y = 4 7x − 3y = 7 − 3 7x − 7 = 3y − 3 7(7x−1−1) = 3(3y−1−1) stąd wynika, że 3y−1−1 jest podzielne przez 7, czy to możliwe?
3 lip 18:12
mat: 32 = 2 mod 7 33 = 6 mod 7 34 = 4 mod 7 35 = 5 mod 7 36 = 2 mod 7 itd... więc... emotka
3 lip 18:15
wredulus_pospolitus: mat: niech y = 6n+1 wtedy 3y−1 − 1 = 36n = 729n − 1 = (7*104 + 1)n − 1 <−−− więc jest podzielne przez 7
3 lip 18:18
wredulus_pospolitus: 35 = 5 mod 7 −> 36 = 3*5 mod 7 = 15 mod 7 = 1 mod 7
3 lip 18:20
mat: tak, zrobiłem tam błąd 36 =1 mod 7 no czyli tak sie nie uda
3 lip 18:21
wredulus_pospolitus: mat −−− teraz trochę zgaduję, ale czy nie było takiego twierdzenia, że jeżeli a,b są względnie pierwsze to: ak (mod b) będzie przyjmować KAŻDĄ z wartości od 1 do b−1
3 lip 18:22
mat: aa nie kojarzeemotka
3 lip 18:26
wredulus_pospolitus: albo inaczej −−−− małe twierdzenie Fermata: ap−1 − 1 ≡ 0 (mod p) gdzie NWD(a,p) = 1 oraz p to liczba pierwsza
3 lip 18:35
jc: 18:10 y<x, chyba że x=y=1. Dlatego rozkład na iloczyn 3x(3y−x−1) nie bardzo ma sens (drugi czynnik jest ułamkiem) Można jednak dokończyć pomysł z 18:12. 7 | 3r−1 ⇒ 13|3r−1 13| 7s−1 ⇒ 9| 7s−1 (pozostawiam do wykazania licząc na to, że ktoś zaproponuje ładniejszy dowód od mojego) i mamy sprzeczność, bo prawa strona nie dzieli się przez 9, chyba że jest równa zero, a wtedy x=y=1.
5 lip 00:19