równania rózniczkowe study9: Rozwiązać równania różniczkowe:
 2x 
a. y'+

=0
 y 
b. y'+y=x ps. jakie to są typu równań?
27 cze 09:12
wredulus_pospolitus: a) analogiczne masz tutaj rozwiązane http://matematyka.pisz.pl/forum/391052.html b) y' + y = x exy' + exy = exx (exy)' = xex .... ciągnij dalej ten przykład
27 cze 09:36
study9: a. dochodze do momentu y2=−2x2+c1 i co dalej?
27 cze 09:46
wredulus_pospolitus: a) y2 = c1 − 2x2 y = ± c1 − 2x2 co można zapisać również w postaci: y = ±2*c2 − x2
27 cze 09:59
piotr: no to spierwiastkuj
27 cze 09:59
study9: i co dalej? bardzo prosze o rozw
27 cze 10:04
wredulus_pospolitus: i to koniec masz postać dwóch rodzin funkcji spełniających to równanie
27 cze 10:04
study9: a jak bedzie b ?
27 cze 10:09
Jerzy: Klasycznie: y = C*e−x Uzmienniasz stałą: y = C(x)*e−x y' = C'*e−x − C*e−x Wstawiasz do rownania: C'*e−x − C*e−x + C*e−x = x C'e−x = x C' = xex C =∫xex = xex − ex = ex(x − 1) y = ex(x − 1)*ex = x − 1 Rozwiązanie: y = x − 1 + C
27 cze 10:26
Jerzy: Przedostatnia linijka miało być: y = ex(x−1)*e−x = x − 1
27 cze 10:27
Jerzy: Albo prościej ( jak pokazał @wredulus ) (exy)' = xex exy = ∫xexdx = xex − ex = ex(x − 1) Zatem: y = x − 1 + C
27 cze 10:44
Jerzy: Co do a) , nie jest to równanie analogiczne, chociaż pierwsza część rozwiazania stanowi rozwiazanie tego równania ( zmienne rozdzielone )
dy 2x 

= −

dx y 
dyy = −2xdx
1 

y2 = −x2 + C1
2 
y2 = C − 2x2
 + 
y =

C − x2
  
27 cze 10:53
Jerzy: C − 2x2 pod pierwiastkiem oczywiście.
27 cze 10:55
Bleee: Jerzy... Uwaga do (b) exy = ex(x−1) + C y = x−1 + ce−x
27 cze 14:51
Mariusz: a)
 2x 
y'+

=0
 y 
b) y'+y=x a) Równanie o zmiennych rozdzielonych
 2x 
y'+

=0
 y 
 2x 
y'=−

 y 
2yy'=4x y2=2x2+C y2−2x2=C b) y'+y=x To jest równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu ale podstawieniem można sprowadzić do równania o rozdzielonych zmiennych y'+y=x y'=x−y u=x−y
du dy 

=1−

dx dx 
dy du 

=1−

dx dx 
 du 
1−

=u
 dx 
 du 
1−u=

 dx 
du 

=dx
1−u 
−1 

du=−dx
1−u 
ln|1−u|=−x+C1 1−u=C2e−x 1−C2e−x=u x−y=1−C2e−x x−1+C2e−x=y y=x−1+Ce−x
27 cze 18:06
Jerzy: Racja Artur, miało być: y = x − 1 + Ce−x emotka
27 cze 18:25
Jerzy: No i funkcja y = x − 1 + C , którą podałem spełnia równanie dla C = 0
27 cze 18:35