Metoda przewidywań Student: Jakie będzie przewidywanie i dlaczego dla y'' − 4y' + 4y = sin(2x) + e2x ? Równanie ogólne yo(x)=C1e2x + C2xe2x
9 cze 13:35
Mariusz: Korzystasz z superpozycji i dla sin(2x) przewidujesz Acos(2x)+Bsin(2x) a dla e2x przewidujesz Cx2e2x więc całka szczególna jest sumą przewidywań ys=Acos(2x)+Bsin(2x)+Cx2e2x
9 cze 13:53
Mariusz: y''−4y'+4y=0 y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'(y)u u'u−4u+4y=0 u'u=4u−4y
 y 
u'=4−4

 u 
u=zy u'=z'y+z
 4 
z'y+z=4−

 z 
 4 
z'y=4−z−

 z 
 −z2+4z−4 
z'y=

 z 
 z dy 

dz=

 (z−2)2 y 
z 1 

−∫

=ln|y|+C1
z−2 z−2 
zy 

−ln|z−2|=ln|y|+C1
zy−2y 
zy 

−ln|zy−2y|=C1
zy−2y 
u 

−ln|u−2y|=C1
u−2y 
i teraz gdybyś chciał wyznaczyć jawną postać u musiałbyś skorzystać z funkcji nieelementarnej Korzystając z metod algebraicznych otrzymujesz y''=4y'−4y y'=z z'=4z−4y y'=z Macierz układu równań różniczkowych to 4 −4 1 0 i liczysz y=Any0
9 cze 14:38
Mariusz: y=Any0 liczysz rozwiązując równania rekurencyjne W równaniach różniczkowych liczysz y=eAxy0
9 cze 16:01