Całka Magda: Nie mam pojecia jak policzyc te calke, zawsze cos zostaje przy podstawieniu
 x2+16 
f

dx
 x4 
8 cze 16:15
Mariusz:
 x2+16 

dx=
 x4 
x2+16=t−x x2+16=t2−2tx+x2 16=t2−2tx 2tx=t2−16
 t2−16 
x=

 2t 
 2t*2t−2(t2−16) 
dx=

dt
 4t2 
 t2+16 
dx=

dt
 2t2 
 t2+16 
t−x=

 2t 
 t2+1616t4t2+16 



dt
 2t(t2−16)42t2 
 4t(t2+16)2 

dt
 (t2−16)4 
u=t2−16 du=2tdt
 2(u+32)2 

du
 u4 
 2u2+128u+2048 

du
 u4 
 2 128 2048 

du+∫

du+∫

du
 u2 u3 u4 
 2 64 2048 
=−



 u u2 3u3 
 2 64 20481 
=−




+C
 t2−16 (t2−16)2 3(t2−16)3 
 2 64 
=−


 (x+x2+16)2−16 ((x+x2+16)2−16)2 
 20481 


+C
 3((x+x2+16)2−16)3 
Powyższy wynik można jeszcze uprościć
8 cze 18:33
jc: x=4 sh t
 x2+16 1 ch2 t 

dx =


dt
 x4 128 sh4 t 
 1 dt 1 
=

∫cth2t

=

cth3t
 128 sh2t 3*128 
 x2+16 
cth t =

 4x 
8 cze 19:33
Mariusz: Drugie podstawienie wymaga nieco mniej obliczeń
 x2+16 

dx
 x4 
x2+16=xt+4 x2+16=x2t2+8xt+16 x2=x2t2+8xt x=xt2+8t x(1−t2)=8t
 8t 
x=

 1−t2 
 8(1−t2)−(−2t)8t 
dx=

dt
 (1−t2)2 
 8t2+8 
dx=

dt
 (1−t2)2 
 4t2+4 
xt+4=

 1−t2 
 4t2+4(1−t2)48t2+8 



dt
 1−t24096t4(1−t2)2 
1 (t2+1)2(1−t2) 


dt
128 t4 
1 (1−t4)(1+t2) 


dt
128 t4 
1 1+t2−t4−t6 


dt
128 t4 
 1 dt dt 
=

(∫

+∫

−∫dt−∫t2dt)
 128 t4 t2 
 1 1 1 t3 
=

(−


−t−

)+C
 128 3t3 t 3 
8 cze 19:34
jc: Oj, zamiast 128 powinno stać 64.
8 cze 19:37
jc:
 1 (x2+16)3/2 
Wynik =


 3*4096 x3 
8 cze 19:40
Mariusz: Można też przez części liczyć
 x2+16 1x2+16 1 1x 

dx=−


+



dx
 x4 3x3 3 x3x2+16 
 x2+16 1x2+16 1 1 

dx=−


+


dx
 x4 3x3 3 x2x2+16 
 x2+16 1x2+16 1 16+x2−x2 

dx=−


+


dx
 x4 3x3 48 x2x2+16 
 x2+16 1x2+16 1 x2+16 

dx=−


+


dx
 x4 3x3 48 x2 
 1 1 


dx
 48 x2+16 
 x2+16 1x2+16 1 x2+16 dx 

dx=−


+

(−

+∫

)
 x4 3x3 48 x x2+16 
 1 1 


dx
 48 x2+16 
 x2+16 1x2+16 1x2+16 

dx=−




+C
 x4 3x3 48x 
8 cze 19:47
Mariusz: jc nadal masz źle policzony współczynnik
8 cze 19:51
jc: Spróbuję jeszcze raz staranniej.
 ch t x2+16 
x=4 sh t, (cth t)' = 1/sh2t, cth t =

=

 sh t x 
 sh2t + 16 1 ch2t 
całka = ∫

4cht dt =


dt
 44 sh4t 16 sh4t 
 1 1 (x2+16)3/2 
=

*

cth3t =

 16 3 48 x3 
Teraz już jest dobrze. Cóż, czasami też się mylęemotka
8 cze 20:00
jc: Mariusz, już poprawiłem. Wydaje mi się, że w tym zadaniu funkcje hiperboliczne same prowadzą do wyniku.
8 cze 20:01
Mariusz: Nie zgubiłeś czasami minusa ? Spójrz na mój wynik z całkowania przez części Tam masz wynik uproszczony Pierwsze podstawienie Eulera wymagało dodatkowego podstawienia aby ominąć rozkład na sumę ułamków prostych Po drugim podstawieniu Eulera wystarczyło skorzystać z liniowości i dostaliśmy całkę z potęgi
8 cze 20:11
jc: Podstawmy najpierw y=4x, aby nie mylić się w rachunkach.
 1 1+y2 
całka =


dy.
 16 y4 
Teraz dla odmiany y=tg t.
 1 cos t 11 
całka =


dt = −


 16 sin4 48sin3t 
Tylko co z tym minusem? Znów coś mylęemotka
8 cze 20:16
jc:
 1 
Może zgubiłem, pewnie (cth t)' = −

.
 sh2t 
8 cze 20:17
jc: Mariusz, a jednak będę zachęcał do używania funkcji hiperbolicznych. Po prostu funkcje hiperboliczne same prowadzą do wyniku.
8 cze 20:20
jc: Przy okazji, matematycy nie mówią studentom o funkcjach hiperbolicznych, może nawet czują jakąś niechęć do tych funkcji. Studenci przejmują niechęć nauczycieli i nie chcą rozwiązywać nawet łatwych zadań z funkcjami hiperbolicznymi.
8 cze 20:23