Matematyka dyskretna Magda: Wyznacz rozwiązanie równania rekurencyjnego: an=an−1 +6an−2 −2n+3 Nie wiem jak to zrobić proszę o pomoc. Mam lambdę 3 i −2 więc an=3c1−2c2 Czyli do niejednorodnych będzie an=An+B Ale nie wiem jak to liczyć dalej. Mógłby ktoś policzyć ?
6 cze 21:05
wredulus_pospolitus: a1 = a2 =
6 cze 21:10
Mila: Brak warunków początkowych.
6 cze 21:11
jc: Mila, można przecież zapisać rozwiązanie ogólne.
6 cze 21:17
Magda: Właśnie brak warunków i nie wiem jak to zrobić:(
6 cze 21:27
jc: an=K3n + L(−2)n + An+B. A, B znajdź sama, K, L to dowolne stałe.
6 cze 21:34
Magda: Jc dzięki
6 cze 22:16
Mariusz: Można także rozwiązywać jak równanie różniczkowe Część jednorodną przekształcasz w układ równań i rozwiązujesz metodami algebraicznymi a rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego znajdujesz uzmienniając stałe Funkcja tworząca też będzie wygodna w użyciu a dodatkowo pozwala rozwiązać więcej równań A(x)=∑n=0anxnn=2anxn=∑n=2an−1xn+∑n=26an−2xn +∑n=2(−2n+3)xnn=2anxn=x(∑n=2an−1xn−1)+6x2(∑n=2an−2xn−2) −(∑n=2(2n−3)xn) ∑n=2anxn=x(∑n=1anxn)+6x2(∑n=0anxn) −(∑n=2(2n−3)xn) ∑n=0anxn−a0−a1x=x(∑n=0anxn−a0)+6x2(∑n=0anxn) −(∑n=0(2n−3)xn−(−3)−(−1)x) ∑n=0anxn−a0−a1x=x(∑n=0anxn−a0)+6x2(∑n=0anxn) −(∑n=0(2(n+1)−5)xn)−3−x
 1 
n=0xn=

 1−x 
d d 1 

(∑n=0xn)=

(

)
dx dx 1−x 
 −1 
n=0nxn−1=

(−1)
 (1−x)2 
 1 
n=1nxn−1=

 (1−x)2 
 1 
n=0(n+1)xn=

 (1−x)2 
n=0anxn−a0−a1x=x(∑n=0anxn−a0)+6x2(∑n=0anxn)
 2 5 
−(


)−3−x
 (1−x)2 1−x 
 2 5 
A(x)−a0−a1x=x(A(x)−a0)+6x2A(x)−


−3−x
 (1−x)2 1−x 
 2 5 
A(x)(1−x−6x2)=a0+a1x−a0x−

+

−3−x
 (1−x)2 1−x 
 2 5 
A(x)(1−x−6x2)=(a0−3)+(a1−a0−1)x−

+

 (1−x)2 1−x 
 5(1−x)−2 
A(x)(1−x−6x2)=(a0−3)+(a1−a0−1)x+

 (1−x)2 
 (a0−3)+(a1−a0−1)x −5x+3 
A(x)=

+

 1−x−6x2 (1−x)2(1−x−6x2) 
 (a0−3)+(a1−a0−1)x −5x+3 
A(x)=

+

 (1−3x)(1+2x) (1−x)2(1−3x)(1+2x) 
A B (a0−3)+(a1−a0−1)x 

+

=

1−3x 1+2x (1−3x)(1+2x) 
A(1+2x)+B(1−3x)=(a0−3)+(a1−a0−1)x A+B=a0−3 2A−3B=a1−a0−1 3A+3B=3a0−9 2A−3B=a1−a0−1 5A=a1+2a0−10 2A+2B=2a0−6 2A−3B=a1−a0−1 5B=3a0−a1−5
−5x+3 B C D 

={A}{1−x}+

+

+

(1−x)2(1−3x)(1+2x) (1−x)2 1−3x 1+2x 
A(1−x)(1−3x)(1+2x)+B(1−3x)(1+2x)+C(1−x)2(1+2x)+D(1−x)2(1−3x)=−5x+3 A(1−x)(1−x−6x2)+B(1−x−6x2)+C(1−2x+x2)(1+2x)+D(1−2x+x2)(1−3x)=−5x+3 A(1−2x−5x2+6x3)+B(1−x−6x2)+C(1−3x2+2x3)+D(1−5x+7x2−3x3)=−5x+3 A+B+C+D=3 −2A−B−5D=−5 −5A−6B−3C+7D=0 6A+2C−3D=0 A+B+C+D=3 B+2C−3D=1 −B+2C+12D=15 −6B−4C−9D=−18 A+B+C+D=3 B+2C−3D=1 4C+9D=16 8C−27D=−12 A+B+C+D=3 B+2C−3D=1 4C+9D=16 −45D=−44
 44 
D=

 45 
 81 
C=

 45 
 15 
B=

 45 
 5 
A=−

 45 
−5x+3 5 1 151 

=−


+


+
(1−x)2(1−3x)(1+2x) 45 1−x 45(1−x)2 
811 441 


+


451−3x 451+2x 
 1 1 1 1 
A(x)=

(a1+2a0−1)

+

(27a0−9a1−1)

 5 1−3x 45 1+2x 
 11 11 


+


 91−x 3(1−x)2 
 1 1 
an=

(a1+2a0−1) 3n+

(27a0−9a1−1) (−2)n
 5 45 
 1 1 

+

(n+1)
 9 3 
 1 1 1 
an=

(a1+2a0−1) 3n+

(27a0−9a1−1) (−2)n+

(3n+2)
 5 45 9 
7 cze 03:47
Mariusz: an=an−1 +6an−2 −2n+3 an+2=an+1 +6an −2(n+2)+3 an+2=an+1 +6an−2n−1 an+2=an+1 +6an Niech bn=an+1 an+1=bn bn+1=bn+6an A= 0 1 6 1 An[a0 a1]T −λ(1−λ)−6=0 λ2−λ−6=0 (λ−3)(λ+2)=0 −3v1+v2=0 6v1−2v2=0 v2=3v1 v1[1 3]T 2v1+v2=0 6v1+3v2=0 v2=−2v1 v2[1,−2]T P= 1 1 3 −2 D= 3 0 0 −2 1 1 1 0 3 −2 0 1 1 1 1 0 0 −5 −3 1 5 5 5 0 0 −5 −3 1 5 0 2 1 0 5 3 −1 P−1=
2 1 


5 5 
3 −1 


5 5 
An=PDnP−1
2 3 1 1 

3n+

(−2)n

3n

(−2)n
5 5 5 5 
6 6 3 2 

3n

(−2)n

3n+

(−2)n
5 5 5 5 
 2 3 3 2 
(

3n+

(−2)n)(

3n+

(−2)n)−
 5 5 5 5 
 1 1 6 6 
(

3n

(−2)n)(

3n

(−2)n)=3n(−2)n
 5 5 5 5 
 3 2 1 1 
0(

3n+

(−2)n)−(

3n

(−2)n)(−2n−1)=U{1}{5
 5 5 5 5 
}(2n+1)(3n−(−2)n)
 2 3 6 6 
(

3n+

(−2)n)(−2n−1)−0((

3n

(−2)n))=
 5 5 5 5 
 1 

(2n+1)(2*3n+3*(−2)n)
 5 
Niech
 1 −1 1 
Δcn=

(2n+1)((

)n−(

)n)
 5 2 3 
 1 −1 1 
Δdn=−

(2n+1)(2*(

)n+3(

)n)
 5 2 3 
cn=∑j=0n−1 Δcn +c0 dn=∑j=0n−1 Δdn +d0
 2 3 1 1 
an=cn(

3n

(−2)n)+dn(

3n+

(−2)n)
 15 10 15 10 
Aby znaleźć rozwiązanie szczególne trzeba będzie obliczyć te sumy przez części
7 cze 06:23