rozniczkowanie rozniczkowanie: 1) Czy ciąg stały jest ciągiem Cauchy'ego? Wydaje mi się, że tak. 2) Czy szereg i ciąg sum częściowych to, to samo? Do tej pory myślałam, że to są inne pojęcia. I że w szeregach po prostu korzystamy pomocniczo z ciągu sum częściowych. 3) Czy zbiór zwarty (domknięty i ograniczony) może nie przyjmować swoich kresów? 4) Czy można różniczkować funkcję na zbiorze domkniętym? (robiliśmy to tylko na otwartych) 5) Czy pochodna może zerować się na początku lub końcu przedziału, i czy możemy tam mieć ekstremum lokalne? 6) Jeżeli funkcja jest klas C to wszystkie pochodne muszą być ciągłe, aby móc liczyć kolejną pochodną, zgadza się? Pozdrawiam i z góry bardzo dziękuję za odpowiedzi.
12 maj 19:18
ABC: Ad 1 −tak Ad 2− według pewnych książek tak Ad 3− pytanie chyba źle sformułowane, ciągły obraz zbioru zwartego jest zwarty ale nie wiem czy o to chodziło emotka, ponadto w przestrzeniach euklidesowych z naturalną topologią zwartość to to samo co domkniętość i ograniczoność
12 maj 19:31
rozniczkowanie: @ABC! Bardzo Ci dziękuję emotka Mógłby ktoś wypowiedzieć się na pozostałe pytania?emotka
12 maj 20:26
rozniczkowanie: do 3) Funkcja ciągła przyjmuje na każdym podzbiorze zwartym swoje kresy, tzn. jeżeli f: R−> R, a ograniczymy ją do f: [−1,1]−>R, to chodzi o to, że wartość najmniejsza oraz największa w tej nowej dziedzinie, funkcja będzie osiągała, ponieważ dziedzina to zbiór domknięty. Tak? emotka
12 maj 20:32
wredulus_pospolitus: 4) można ... w końcu np dla f(x) = (x)3 i Df = [0;+) wyznaczamy pochodną wzór pochodnej dla całej dziedziny 5) nie bardzo rozumiem pytanie ... chodzi Ci w momencie w którym rozpatrujesz przedział domknięty [a,b] i f'(a) = 0 bądź f'(b) = 0 Jeżeli Df = [a,b] to tak, funkcja może (a nawet będzie miała − bo nie ma możliwości wystąpienia punktu przegięcia) ekstremum lokalne 6) ... ciągła 'w swojej dziedzinie' i posiada ona NIEZEROWE pochodne w końcu f(x) = 1 będzie miała ciągłe pochodne (równe 0), a nie jest C
12 maj 20:39
wredulus_pospolitus: 20:32 −−− tak
12 maj 20:41
ABC: co do 20:32 tak, ciągła funkcja rzeczywista określona na zbiorze domkniętym i ograniczonym osiąga swoje kresy
12 maj 20:42
Adamm: 4) W punktach skupienia, jak najbardziej. 5) Dla funkcji określonej na przedziale [a, b] zerowanie się pochodnej w punktach a czy b nic tak naprawdę nie oznacza. Może tak być, ale nic to nie zmienia. 6) tak, skoro istnieje pochodna rzędu n+1, to pochodna rzędu n musi być ciągła
12 maj 23:12
wredulus_pospolitus: Adamm nie zgodzę się co do (5) ... zerowanie się pochodnej na krańcu (powiedzmy f(a) = 0) oznacza, że mamy jedną z sytuacji: I) ∃c>axn∊(a,c) −> f(a) ≥ f(xn) II) I) ∃c>axn∊(a,c) −> f(a) ≤ f(xn) o ile pochodna nie jest stale stała 0 w tym otoczeniu to nierówności będą ostre i mamy minimum bądź maksimum lokalne
12 maj 23:33
wredulus_pospolitus: Jeszcze raz: I) ∃c>axn∊(a,c) f(a) ≥ f(xn) II) ∃c>axn∊(a,c) f(a) ≤ f(xn)
12 maj 23:34
wredulus_pospolitus: w sumie to już to oznacza że w punkcie a mamy ekstremum lokalne
12 maj 23:36
Adamm: przy założeniu że pochodna jest ciągła
12 maj 23:43
Adamm: 'o ile pochodna nie jest stale stała 0 w tym otoczeniu to nierówności będą ostre i mamy minimum bądź maksimum lokalne' hmm... to że stale nie jest równa zeru, nie oznacza że nie zmienia znaku nieskończenie wiele razy w otoczeniu lewego punktu
12 maj 23:47
wredulus_pospolitus: sam fakt, że mamy f(a) = 0 oraz ∃c>0xn∊(a,c) f'(xn) ≠ 0 oznacza, że w tym przedziale zachodzi tylko jedno z f(a) > f(xn) lub f(a) < f(xn) a jako, że dla x<a funkcja nie jest określona to w punkcie x=a nie możemy mieć punktu przegięcia. Ale tak jak wcześniej napisałem ... nie muszą być ostre nierówności, aby mówić o ekstremum lokalnym.
13 maj 00:16
wredulus_pospolitus: A jeżeli rozpatrujemy takie funkcje, które mają nieskończenie wiele ekstrem w otoczeniu punku a (np. f(x) = sin(1/x) dla x>0 i 'cokolwiek' dla x=0), to wtedy niestety funkcja ta nie będzie ciągła − przynajmniej ja tak to widzę.
13 maj 00:24
rozniczkowanie: 5) Mam takie tw. Niech f: [a,b]−>R. Jeżeli f ma w x0 ∊(a,b) maksimum/minimum lokalne oraz f'(x0) istnieje, to f'(x0)=0. Nie rozumiem dlaczego, x0 nie może być ze zbioru [a,b].
13 maj 09:20
rozniczkowanie: Chodzi o to, co napisał @Adam? Że to nic nie zmieni?
13 maj 09:27
Adamm: rysunek Np. f(x) = x, x∊[0, 1] Ta funkcja ma ekstrema lokalne w punktach 0 i 1 ale f'(x) = 1 ≠ 0 dla każdego x Dlatego założenia że x jest z (a, b) nie można ulepszyć
13 maj 09:39
wredulus_pospolitus: rysunek to że masz minimum/maksimum lokalne na krańcu NIE OZNACZA że w tym miejscu masz f'(a) = 0 Zauważ, że zarówno 'a' jak i 'b' są (odpowiednio) minimum i maksimum lokalnym tejże funkcji (baa ... nawet są minimum/maksimum globalnym), ale ... ale f'(a) ≠ 0 oraz f'(b) ≠ 0 ... a czemuż to? Odpowiedź: Bo patrząc na ciągłą funkcję określoną na przedziale domkniętym krańce przedziałów (czyli a i b) będą minium/maksimum lokalnym (zawsze i wszędzie)
13 maj 09:42
ICSP: Aby funkcja miała minimum/maksimum lokalne w punkcie x0 musi istnieć pewne otoczenie punktu x0 w którym ta funkcja jest określona. Dlatego funkcja na krańcach dziedziny nie może mieć ekstremum.
13 maj 10:26
jc: Jeśli całym światem jest odcinek [0,1], to otoczeniem punktu 0 jest odcinek [0,a), 0<a<1. W taki wypadku można przecież mówić o ekstremum w w punkcie 0, choć to kraniec odcinka, a że takiego ekstremum nie odkryjemy przyrównując pochodną do zera, to już inna sprawa.
13 maj 11:05
rozniczkowanie: Myślałam, że f'(x)=0, jest warunkiem koniecznym (nieważne, w którym miejscu odcinka punkt x leży), aby w tym x było ekstremum lokalne, ale widocznie byłam w błędzie. Bardzo dziękuję za pomoc!emotka
13 maj 15:46
rozniczkowanie: f: [a,b]−>R Jeszcze raz dla pewności: zerowanie się pochodnej w punkcie x jest warunkiem koniecznym, aby mieć ekstremum lokalne, jeżeli punkt x należy do (a,b)?
13 maj 15:49
rozniczkowanie: plus co jeśli mamy f:(a,b)−> R. czy reszta tw pozostaje bez zmian? emotka
13 maj 15:51
Bleee: Tak i tak (pozostaje bez zmian). Problemem są krańce przedziałów ze względów które napisaliśmy powyżej.
13 maj 18:19