układ Ula: Rozwiąz układ sin x=sin 2y 2sin(4x+8y)*sin(3x+10y)+5cos(7x+2y)=4 Jakiś prosty sposób?
8 maj 22:19
PW: Z równania sinx=sin2y wynika międy innymi, że może być (0) x = 2y (nie jest to jedyna możliwość, ale sprawdźmy co z niej wynika): 2sin(16y)sin(16y)+5cos(16y) = 4 2sin2(16y)+5cos(16y) = 4 2(1−cos2(16y))+5cos(16y) = 4 Oznaczmy, (1) cos(16y) = z, z∊<−1, 1> 2 − 2z2+5z = 4 (2) 2z2−5z+2 = 0 Δ=52−4•2•2 = 9, Δ=3
 5−3 1 5+3 
z1=

=

, z2 =

= 2
 2•2 2 4 
Tylko rozwiązanie z1 spełnia warunek (1), a więc
 1 
(3) cos(16y) =

 2 
i przy założeniu, że 16y∊<0, 2π)
 π π 
16y =

lub 16y = 2π−

 3 3 
 π  
y =

lub y =

 48 48 
i w konsekwencji
 π  
x =

lub x =

.
 24 24 
Rozwiązaniami są pary
 π π   
(

,

), (

,

).
 24 48 24 48 
Ponieważ wniosek, że z sinx=sin2y wynika (0) nie jest jedynym wnioskiem, a rozwiązanie równania (3) nie jest kompletne, podane rozwiązania są tylko szczególnymi rozwiązaniami układu. Pełne rozwiązanie wymaga uwzględnienia wszystkich możliwości.
9 maj 14:13