Funkcja kwadratowa vgxny: Witam, mam pytanie odnośnie wyniku poniższego zadania, gdyż otrzymałem dwa rozwiązania i nie wiem dlaczego jedno z nich należy odrzucić. Od razu mówię, że trochę się rozpisałem (może i niesłusznie). Treść: Dana jest funkcja f(x) = x2 − 4x + c, która ma dwa różne miejsca zerowe. Miejsca zerowe funkcji g(x) = ax2 + bx + 3 są trzy razy większe od miejsc zerowych funkcji f. Wyznacz współczynniki: a, b i c, jeśli te trójmiany mają takie same zbiory wartości. Proponowane przeze mnie rozwiązanie: Na początek zapisuję warunki podane w treści zadania i oznaczam miejsca zerowe funkcji: f(x) = x2 − 4x + c ⋀ f(x) = 0 ⇔ x ∊ {x1f, x2f} g(x) = ax2 + bx + 3 ⋀ g(x) = 0 ⇔ x ∊ {x1g, x2g} f(Df) = g(Dg) x1g = 3x1f ⋀ x2g = 3x2f Teraz zapisuję wzory Viète'a dla poszczególnych funkcji: x1f + x2f = −(− 4)/1 = 4 ⋀ x1f * x2f = c/1 = c x1g + x2g = − b/a = 3x1f + 3x2f = 3(x1f + x2f) = 3 * 4 = 12 x1g * x2g = 3/a = 3x1f * 3x2f = 9x1f * x2f = 9c Następnie z otrzymanych zależności wyznaczam współczynniki b i c: − b/a = 12 ⇒ b = − 12a 3/a = 9c ⇒ c = 1/(3a) Przechodzę do warunku dotyczącego równoważności zbiorów wartości funkcji: f(Df) = g(Dg) ⇔ qf = qq ⋀ a > 0 qf = f(pf) = (pf)2 − 4pf + c qg = g(pg) = a(pg)2 + bpg + 3 (pf)2 − 4pf + c = a(pg)2 + bpg + 3 Znając sumy miejsc zerowych obydwu funkcji wyznaczam współrzędną x−ową ich wierzchołków korzystając z równania osi symetrii: pf = (x1f + x2f)/2 = 4/2 = 2 pq = (x1g + x2g)/2 = 12/2 = 6 Podstawiam do poprzedniego równania: (pf)2 − 4pf + c = a(pg)2 + bpg + 3 22 − 4 * 2 + c = a * 62 + 6b + 3 c − 4 = 36a + 6b + 3 Teraz podstawiam wyznaczone przedtem współczynniki b i c: 1/(3a) − 4 = 36a + 6 * (−12a) + 3 36a − 72a − 1/(3a) = − 4 − 3 − 36a − 1/(3a) = −7 36a + 1/(3a) = 7 / * 3a 108a2 + 1 = 21 a 108a2 − 21 a + 1 = 0 Δ = (− 21)2 − 4 * 108 * 1 = 441 − 432 = 9 ⇒ Δ = 3 a1 = (21 − 3)/216 = 1/12 ⋁ a2 = (21 + 3)/216 = 1/9 Ostatecznie: a = 1/12 a = 1/9 b = − 12 * 1/12 = − 1 ⋁ b = − 12 * 1/9 = − 4/3 c = 1/(3a) = 1/(1/12) = 12 c = 1/(1/3) = 3 Prawidłową odpowiedzią jest drugi układ równań, i tu przechodzę do pytania − Dlaczego należy odrzucić pierwsze rozwiązanie? Jeżeli ktoś przez to przebrnął do końca to dziękuję za cierpliwość.
8 maj 16:34
vgxny: Nieaktualne, gdyby ktoś na przyszłość potrzebował to funkcja g o współczynnikach a i b z pierwszego rozwiązania nie miałaby miejsc zerowych
8 maj 16:47