kwadrat Love: Rozszerzenie Niech A będzie wierzchołkiem kwadratu, a M środkiem przeciwległego boku. Na przekątnej kwadratu wychodzącej z wierzchołka A wybrano punkt P tak, aby |AP| = |MP|. Obliczyć, w jakim stosunku punkt P dzieli przekatną kwadratu.
8 maj 15:52
PW: Plan rozwiązania metodami geometrii analitycznej Niech kwadrat ma bok o długości 2 (dla ułatwienia rachunków, niezależnie od długości boku proporcje odcinków sa takie same). Umieśćmy ten kwadrat w układzie współrzędnych, tak by A = (0, 0) i boki były rówoległe do osi układu, M = (2, 1). Równanie prostej AM ma postać
 x 
(1) y =

.
 2 
Punkt P leży na symetralnej odcinka AM. Umiemy napisać równanie tej symetralnej (prosta prostopadła do prostej (1), przechodząca przez środek odcinka AM). Niech równanie symetralnej ma postać (2) − sam napisz jak ono wygląda) Punkt P leży również na prostej zawierającej przekątną kwadratu, to znaczy na prostej (3) y = x. Układ równań (2) i (3) daje współrzędne punktu P. Liczymy |AP|, długość przekątnej (22) i stosunek |AP| do 22−|AP|.
8 maj 18:36
Eta: rysunek |RN|=y=a−x , x∊(0,a) ,|AP|=y2=(a−x)2 i |PC|=|PS|+|SC|= x2=a2= (a+x)2 to
|AP| a−x 

=

|PC| a+x 
w ΔRMP : |RM|=a+x , |PR|=x , |PM|=|AP|=(a−x)2 z tw. Pitagorasa [(a−x)2]2=x2+(a+x)2 ⇒ ............ a2−6ax=0 /: a≠0 to 6x=a zatem:
|AP| 6x−x 5 

=

=

|PC| 6x+x 7 
|AP| : |PC|=5 :7 =============
8 maj 18:50
Mila: rysunek Punkt P leży na przecięciu prostej AC i symetralnej AM A=(0,0), M=(2,4) 1) prosta AM m: y=2x c: y=x prosta AC 2) Symetralna AM S=(1,2) − środek AM
 1 5 
s: y=−

x+

 2 2 
3) Punkt przecięcia prostych :
 1 5 
y=x i y=−

x+

 2 2 
 5 5 
x=

, y=

 3 3 
4)
 5 
|AP|=

2
 3 
 5 7 
|PC|=42

2=

2
 3 3 
AP 5 

=

PC 7 
============
8 maj 20:31