powtórka Ulka: Zadanie maturalne

	x−y		y−z		z−x
Niech x,y,z bedą bokmi dowolnego trójkąta. Pokaż że |		+		+		| <
	x+y		y+z		z+x

1/8. Czy założenie o tym że x,y,z mają być bokami trójkąta jest istotne?

ZKS: Zauważ, że

	x − y		y − z		z − x
|		+		+		| =
	x + y		y + z		z + x

	(x − y)(y − z)(z − x)
|		|.
	(x + y(y + z)(z + x)

Ulka: Ale nadal dalej nie wiem , chyba trzeba teraz z warunku trójkata np x+y>z itdale jak wstawie to do mianownika to ułamek bedzie wiekszy

Ulka: ?

ZKS: z + x > y ⇒ x > y − z x + y > z ⇒ y > z − x y + z > x ⇒ z > x − y xyz > (x − y)(y − z)(z − x)

xyz		(x − y)(y − z)(z − x)
	> |		|
(x + y)(y + z)(z + x)		(x + y)(y + z)(z + x)

ZKS: Z nierówność między AM − GM mamy:

x + y
	≥ √xy
2

y + z
	≥ √yz
2

z + x
	≥ √zx
2

(x + y)(y + z)(z + x)		1		xyz
	≥ xyz ⇒		≥		.
8		8		(x + y)(y + z)(z + x)

Ulka: A jak na maurze odpowiedziec na to pytanie?

ZKS: Chodzi Ci o te pytanie "Czy założenie o tym że x,y,z mają być bokami trójkąta jest istotne?" ?

Ulka: Tak dokładnie

ZKS: Zostaje wykorzystana nierówności trójkąta oraz fakt, że długości boków trójkąta są liczbami dodatnimi stąd istotne jest założenie o tym iż x, y oraz z są bokami dowolnego trójkąta.

Ulka: A to nie trzeba podać jakiegoś przykładu tez?

ZKS: Jakiego znowu przykładu?

Ulka: No jakis trzech liczb które nie spełniaja tej nierównosci

ZKS: Proszę Cię, podaj mi te liczby które nie spełniają tej nierówności. Przecież udowodniłem iż rzeczywiście taka nierówność zachodzi dla założeń jeżeli x, y i z są bokami dowolnego trójkąta.

mat: Nie no, Ulka ma dobre pytanie, bo np 3,2,1 nie są bokami a spełniają

mat: x=1, y=100, z=1000 chyba jest ok kontrprzykładem

ZKS: Osobiście zrozumiałem w ten sposób: jeżeli x, y oraz z są bokami dowolnego trójkąta to, czy istotny jest fakt, aby były to boki dowolnego trójkąta, żeby przez wszystkie takie liczby została spełniona dana nierówność. Mówiąc łopatologicznie, czy warunek, aby x, y oraz z były bokami dowolnego trójkąta jest potrzebne, aby wszystkie takie liczby spełniły daną nierówność.

PW: A tak poważnie − rzeczywiście jest to zadanie maturalne? Przecież 99% maturzystów nie jest w stanie tego pokazać.

Eta: Nawet 99,9%