Udowodnij, że następująca liczba jest niewymierna Paral: Udowodnij, że następująca liczba jest niewymierna: n+1n
13 kwi 14:28
6latek: Jesli pomnoze przez sume tych pierwiastkow to dostane
1 

n+1+n 
Ale to dalej nie jest to o co chodzi Tez sie zastanawiam nad tym zadaniem
13 kwi 14:58
Jerzy: Myślę,ze treba zastosować dowód nie wprost. Pokazać,że n+1n nie da się przedstawić
 p 
w postaci

 q 
13 kwi 15:15
6latek: Ale jak to zrobic ? Mozesz pokazac ?
13 kwi 15:16
Paral:
 p 
załóżmy dla dowodu nie wprost, że n+1n =

jest liczbą wymierną oczywiście
 q 
dla p, q należących do zbioru liczb całkowitych, n należy do naturalnych wtedy możemy to zapisać w postaci:
1 q 

=

n+1n p 
usuwając niewymierność z mianownika otrzymamy:
 q 
n+1 + n =

co również będzie liczbą wymierną,
 p 
teraz tworząc układ równań:
 p 
n+1n =

 q 
 q 
n+1 + n =

i obliczając go otrzymujemy:
 p 
 1 p q 
n+1 =

(

+

) co też musi być liczbą wymierną oraz
 2 q p 
 1 p q 
n =

(


), które również jest liczbą wymierną
 2 q p 
co oznaczałoby, że n dla n należących do naturalnych musiałoby być zawsze liczbą wymierną, a to jest niemożliwe może coś takiego?
13 kwi 15:22
jc: f(x)=(x−n+1n)(x+n+1+n)(x−n+1+n)(x+n+1n) =x4−(4n+2)x+1 f(n+1+n)=0, ale wielomian f nie ma pierwiastków wymiernych, chyba, że n=0.
13 kwi 15:27
iteRacj@: @Paral nigdzie nie podajesz jakie ma być n, a przecież 0+1+0 nie jest liczba niewymierną.
13 kwi 15:32
Paral: Zapomniałem dodać w treści zadania, że n należy do zbioru liczb naturalnych i przyjmujemy, że 0 do tego zbioru nie należy
13 kwi 15:34
jc: Miało być f(x)=x4−(4n+2)x2+1 (zgubił się kwadrat) Jedyni kandydaci na pierwiastki wymierne to x=1 i x=−1. f(1)=f(−1)=−4n≠0 dla n≠0
13 kwi 15:37
Paral: @jc dlaczego można zapisać to jako taki wielomian: f(x)=(x−n+1n)(x+n+1+n)(x−n+1+n)(x+n+1n)?
13 kwi 15:44
jc: Chodzi o to, że tak określony wielomian ma współczynniki całkowite, a jednym z pierwiastków jest n+1n. Teraz zauważyłem małą usterkę, miało być f(n+1n)=0. W przypadku wielomianu o współczynnikach całkowitych możemy stosować twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.
13 kwi 16:10
Paral: Dziękuje bardzo!
13 kwi 16:16