Ciągi, rekurencja, nieparzysta wielokrotność liczby Enje: Ciąg (an) określony jest rekurencyjnie:
a1 = k  
a2 = 3k
an+1 = 2an − an1 dla n ≥ 2 
gdzie k ∊ N. Wykaż, że dowolna nieparzysta wielokrotność liczby k jest wyrazem tego ciągu. czy takie rozwiązanie było by okkay? emotka a3=5k a4=7k zauważmy że: a1,a2,a3,a4 są kolejnymi nieparzystymi wielokrotnościami liczby k a kolejne wyrazy ciągu tworzone są ze wzoru: an+1 = 2an − an1 liczba nieparzysta x=2n−1, n∊N+ 1)dla x={1,3} a1=k, a2=3 2)załóżmy że dla x>=1: an=xk 3) dla n>=2 an+1=2(x)k−(x−2)k=(x+2)k kolejne wyrazy ciągu dla każdego n∊N+ tworzone są kolejnymi nieparzystymi wielokrotnościami liczby k
13 mar 14:36
jc: Od miejsca "liczba nieparzysta x=" w ogóle nie wiadomo, co chcesz powiedzieć.
13 mar 15:39
Enje: ayaya :CC chciałem użyć tego: "Dowód przeprowadzony metodą indukcji matematycznej nazywamy dowodem indukcyjnym; składa się on z dwóch etapów: 1. sprawdzenia, że T(n0) jest prawdziwe, 2. dowodu, że dla każdego n ≥ n0 jeżeli T(n) jest prawdziwe, to T(n + 1) jest prawdziwe."
13 mar 15:57
jc: No to przeprowadź dowód indukcyjny. Co chcemy pokazać? wydaje się, że chcemy pokazać, że an = (2n−1)k. Czym będzie T1? Czym będzie Tn?
13 mar 16:14
Enje: chyba nie rozumiem dalej co jest źle :CC T(n0) jest prawdziwe ||| dla x=1: a1=k dla każdego n ≥ n0 jeżeli T(n) jest prawdziwe ||| załóżmy że dla x≥1: an=xk to T(n + 1) jest prawdziwe ||| dla n≥2 an+1=2(x)k−(x−2)k=(x+2)k __________________________________ 1)dla n=1: a1=k 2)załóżmy że dla n≥1: an=(2n−1)k 3) dla n≥2 an+1=2(2n−1)k−(2n−1−2)k=k(4n−2−2n+3)=(2n+1)k __________________________________ przecież to jest taki sam zapis an+1−an=2k an+2k=an+1 co moim zdaniem należało dowieśc (popraw proszę jeśli to dalej jest nie tak, jak powinno. Możliwe że nie rozumiem dobrze indukcji uczyłem się jej sam z internetu (nie mamy już teraz tego w programie w szkole)
13 mar 16:48
Pytający: Zauważ, że w równaniu rekurencyjnym odwołujesz się do dwóch poprzednich wyrazów ciągu, więc żeby udowodnić indukcyjnie, że an=(2n−1)k korzystając z tej zależności rekurencyjnej, musisz pokazać prawdziwość dla n=1 i n=2 i wyjść z założenia prawdziwości dla n=m i n−m−1: • baza indukcyjna: a1=k=(2*1−1)k a2=3k=(2*2−1)k • założenie indukcyjne: am=(2m−1)k am−1=(2(m−1)−1)k=(2m−3)k • krok indukcyjny (m≥2): am+1=2am−am−1= // z założenia // = =2(2m−1)k−(2m−3)k=(4m−2−2m+3)k=(2m+1)k=(2(m+1)−1)k Czyli wzór jest prawdziwy dla n=m+1, o ile jest prawdziwy dla n=m i dla n=m−1 (gdzie m≥2), a stąd (bo jest prawdziwy dla bazy, czyli dla n=m=2 i dla n=m−1=1) an=(2n−1)k dla n∊ℕ+.
13 mar 20:28
Enje: Dziękuję najpiękniej!
13 mar 23:47