Ekstrema funkcji BoosterXS:
 x2−4 
Funkcja określona wzorem f(x) =

, xεR\{0}
 x 
Wybierz poprawną odpowiedź: a) Jest malejąca w R\{0}. b) Jest rosnąca w R\{0}. c) Posiada 2 ekstrema lokalne. d) Nie posiada ekstremów lokalnych.
 x2+4 x2+4 
Obliczyłem f'(x) =

, f'(x)=0 ⇒

= 0 ⇒ x2+4 = 0 ⇒ x2 = −4
 x2 x2 
Brak rozwiązań(brak punktów podejrzanych o ekstremum).
 x2+4 
Rozwiązuję

> 0 F. rosnąca dla xε(0;)
 x2 
 x2+4 
Rozwiązuję

< 0 F. malejąca dla xε(−;0)
 x2 
 x2−4 
Ale jak rysuję funkcję f(x) =

w WolframAlpha to widać, że jest rosnąca w całym
 x 
R\{0}. Ostatecznie pasują mi odpowiedzi b) oraz d), ale powinna być tylko jedna. Zweryfikuje ktoś?
11 mar 03:04
Bleee: A jakim cudem dla x<0 masz f' < 0 przecież licznik i mianownik jest zawsze dodatni. Funkcja f(x) NIE JEST rosnąca w R/{0}. Jest rosnąca w (−, 0) oraz w (0,+). Częsty błąd studentów.
 x4 
Przykładem funkcji rosnącej w R/{0} jest f(x) =

 x 
11 mar 07:14
BoosterXS:
 x2+4 
Faktycznie,

< 0 ⇒ brak rozwiązań. Nie wiem skąd ja wziąłem to wyżej
 x2 
 x2+4 
Czy dobrze rozumiem, że rozwiązując

> 0 otrzymuję xε (−, 0) oraz xε (0,),
 x2 
a więc tak jakby dwa różne przedziały gdzie funkcja rośnie?
11 mar 13:12
ICSP: Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów (− ; 0) oraz (0 ; ) ale nie jest rosnąca w R \ { 0 }
11 mar 13:18
BoosterXS: Dzięki emotka
11 mar 13:23
wredulus_pospolitus: Napisanie, że f(x) jest rosnąca w (a,b) niesie za sobą to, że funkcja f(x) w tym przedziale jest monotoniczna (w końcu rosnąca), więc można z definicji monotoniczności napisać: ∀{x,y} ∊ (a,b) x<y ⇒ f(x) < f(y) (to akurat jest w odniesieniu do rosnącej funkcji)
 x2+4 
Natomiast dla f(x) =

 x2 
mamy:
 4+4 
f(−1) = 5 > 2 =

= f(2)
 4 
W tym momencie (wystarczy jeden kontrprzykład) pokazałem, że nie prawdą jest, że funkcja f(x) jest rosnąca w R/{0} Zapisując jako dwa przedziały: w (−,0) ; w (0;+) przy braniu x,y z przedziałów, bierzesz obie wartości z jednego i tego samego przedziału (i wtedy wszystko pięknie pasuje). Mam nadzieję, że pomogłem
11 mar 13:37