udowodnij ze dla dowolnych liczb paweu: udowodnij ze dla dowolnych liczb x, y, z roznych od zera prawdziwa jest nierownosc 2x2 + 5y2 + 3z2 − 6xy − 2xz + 5yz > 0
11 mar 00:27
PW: Zapewne można to jakoś pogrupować, żeby zobaczyć sumę kwadratów, ale jakoś nie mam cierpliwości, więc spróbuję metodą toporną, ale pewną. Niech y=px i z=qx, p, q≠0. Badana nierównośc przyjmuje postać 2x2+5p2x2+3q2x2−6px2−2qx2+5pqx2>0, po podzieleniu przez x2≠0 2+5p2+3q2−6p−2q+5pq > 0 (1) 5p2+(5q−6)p+3q2−2q+2 > 0 Δ(q) = (5q−6)2−4•5(3q2−2q+2) = 25q2−60q+36−60q2+40q−40 = −35q2−20q−4 Jak łatwo sprawdzić Δ(q) < 0 dla wszystkich q, a więc nierówność (1) jest prawdziwa dla wszystkich p, q, co jest równoważne tezie
11 mar 12:21
jc: Żadne grupowanie, tylko uzupełnianie do pełnego kwadratu czyli diagonalizacja Lagrange. Aby uniknąć ułamków mnożę przez 2. 2(x2+5y2+3z2−6xy−2xz+5yz)= 4x2+10y2+6z2−12xy−4xz+10yz= (2x−3y−z)2 + y2+5z2 + 4yz = (2x−3y−z)2 + (y+2z)2 + z2
11 mar 12:36
PW: Dlatego nie mogłem tak "hop−siup" na to wpaść emotka
11 mar 12:40