Własności funkcji trygonometrycznych magda:
  1  
Wiemy, że cosx + sinx =3 . Wyznacz tgx +

.
  tgx  
10 mar 19:25
Mariusz:
sin(x) cos(x) 

+

cos(x) sin(x) 
sin2(x)+cos2(x) 

cos(x)sin(x) 
1 

cos(x)sin(x) 
2 

2cos(x)sin(x) 
(cos(x)+sin(x))2=cos2(x)+sin2(x)+2cos(x)sin(x) (cos(x)+sin(x))2=1+2cos(x)sin(x) (cos(x)+sin(x))2−1=2cos(x)sin(x)
2 2 

=

2cos(x)sin(x) (3)2−1 
2 2 

=

2cos(x)sin(x) 3−1 
2 2 

=

2cos(x)sin(x) 2 
2 

=1
2cos(x)sin(x) 
10 mar 19:42
Mariusz: ale 2sin(x)cos(x)=sin(2x) i dla argumentów rzeczywistych przyjmuje wartości od < −1 , 1> Może argument jest zespolony ?
10 mar 19:59
Adamm: @Mariusz dobra uwaga x musi być liczbą zespoloną
10 mar 20:01
Mariusz: cosx + sinx =3
 1 1 
2(

cos(x)+

sin(x))=3
 2 2 
 π 
2cos(x−

)=3
 4 
 π 3 
cos(x−

)=

 4 2 
x należy do zespolonych ?
10 mar 20:04
Adamm: W tym sensie, że zespoloną, ale nie rzeczywistą
10 mar 20:05
Mariusz: W zespolonych funkcje trygonometryczne związane są z tzw hiperbolicusami
10 mar 20:14
Adamm: @Mariusz chodzi ci zapewnie o to że np.
 eyi*i−e−yi*i 
sin(yi) =

= isinh(y)
 2i 
10 mar 20:24
Mariusz:
e2ix−e−2ix 

=2
2i 
e2ix−e−2ix=4i e2ix=t
 1 
t−

=4i
 t 
t2−4it−1=0 Δ=−16−(−4)=−12
 4i±23i 
t=

 2 
t=(2+3)i e2ix=(2+3)i 2ix=ln((2+3)i)
 π 
2ix=ln(2+3)+

i
 2 
ln(z)=ln|z|+Arg(z)i |z| moduł liczby zespolonej , długość promienia wodzącego , można obliczyć z tw Pitagorasa Arg(z) argument liczby zespolonej , miara kąta skierowanego między osią biegunową a promieniem wodzącym Tutaj trzeba poczynić założenie że za część urojoną bierzemy np argument główny w przeciwnym razie logarytm nie byłby funkcją
 π 
2ix=ln(2+3)+

i
 2 
 1 π 1 

i(2ix)=


ln(2+3)i
 2 4 2 
 π 1 
x=


ln(2+3)i
 4 2 
10 mar 20:34
Mariusz: Adam mniej więcej o to chodzilo Jak masz funkcje trygonometryczne to hiperbolicusy są przydatne do oddzielenia części rzeczywistej od części urojonej Eta usunęła swoje wpisy
10 mar 20:53
Eta: "bawcie się" dalej ........ emotka
10 mar 20:54
PW: Na poziomie licealisty: Założenie: (0) cosx+sinx=3, skąd po pdniesieniu do kwadtaru cos2x+sinx+2sinxcosx=3 (1) 2sinxcosx=2 Przekształcamy wyrażenie, którego wartość mamy obliczyć:
 1 2 
(2) tgx+

=

 tgx 2sinxcosx 
− to Mariusz pokazał. Podstawienie (1) do (2) daje
 1 2 
(3) tgx+

=

= 1.
 tgx 2 
Udowodniliśmy, że jeśli (0), to (3). I teraz jak to ocenić? Dowód jest poprawny, a że założenie fałszywe? Nie kazali badać prawdziwości założenia. Wątpię, żeby ogół licealistów zauważył to co Mariusz. Oby takiego zadania nie było na maturze!
10 mar 20:58
Mariusz: PW ja dałem się na to złapać tylko po napisaniu coś mi nie pasowało i uzupełniłem to w następnym wpisie
10 mar 21:11
PW: No dobrze, ale Ty jesteś matematykiem, a co ma zrobić licealista, który nie zetknął sie np. z zadaniem, że max(sinx+cosx)=2 lub z wzorem
 π 
sinx+cosx=2sin(

+x)
 4 
i nie skojarzy tego z fałszywością założenia? Najśmieszniej by było, gdyby Magda pomyliła się i miało być sinx + cosx = 2, a my tu tracimy czas.
10 mar 21:21
PW: Zadania tego typu już się pojawiały na forum, np. 5 lat temu 245775
10 mar 21:42
Mariusz: Nie wszystko byłoby stracone bo pokazałem obliczenia poza tym zwróciliśmy jej uwagę na to aby sprawdzać założenia
 1 
Jeżeli cos(x)+sin(x)=3 to tg(x)+

=1
 tg(x) 
 π 
ale cos(x)+sin(x)=2cos(x−

)
 4 
więc dla licealisty nie ma takiego x aby spełniało równanie cos(x)+sin(x)=3 Wątpliwości co do wyniku mogą być też spowodowane tym co wcześniej napisała Eta Przyjmijmy że tg(x) > 0
 1 
Jeśli tg(x) < 1 to

> 1
 tg(x) 
 1 
Jeśli tg(x) > 1 to

< 1
 tg(x) 
 1 
zatem tg(x) +

> 1
 tg(x) 
 1 
|tg(x)+

| ≥ 2
 tg(x) 
10 mar 21:59
Mariusz: PW w teorii to ja jestem programista a o matematyce wiem tylko tyle co programista powinien wiedzieć + to co sam doczytam W praktyce jednak kiepski ze mnie programista
10 mar 22:42
Mila: To jak zarabiasz na swój dobrobyt?
10 mar 22:46
b.: W zasadzie ewentualna fałszywość założenia w niczym nie przeszkadza: rozwiązanie z 20:58 pokazuje, że jeśli (0), to (3), i to wystarczy. Tak jak np. wiedząc, że 0=1, można pokazać, że 0=2 emotka
10 mar 23:49
iteRacj@: Mila fantastyczne określenie! Jest w nim zapisany sukces. "Zarabiać na życie" to przy nim jak ponura zapowiedź niekończącej się orki. Jutro rano pójdę zarabiać na dobrobyt : )
10 mar 23:56
iteRacj@: * na swój dobrobyt, żeby było jasne
10 mar 23:58