Bazy Omikron: Chciałbym prosić o sprawdzenie poprawności mojego rozumowania. Zad. Znaleźć bazę V ∩ W, jeśli V,W są następującymi podprzestrzeniami przestrzeni ℛ[x]: V = span{ x2 + 5x + 1, 4x2 − x − 2}, W = span{ 2x2 + 3x, 5x2 + 4x − 1} Najpierw sprawdzam czy wektory z V i z W (osobno) zapisane pod powłoką są liniowo niezależne. Następnie zapisuję wektor w należący do V ∩ W. w = a(x2+5x+1) + b(4x2 − x − 2) = c(2x2 + 3x) + d(5x2 + 4x − 1) Skoro w należy do części wspólnej przestrzeni to musi się dać go przedstawić na takie dwa sposoby (wyszło że wektory są liniowo niezależne, więc wszystkie wektory tu umieściłem). W takim razie musi być spełnione a(x2+5x+1) + b(4x2 − x − 2) − c(2x2 + 3x) − d(5x2 + 4x − 1) = 0 Przekształcam. (a +4b − 2c − 5d)x2 + (5a − b − 3c − 4d)x + (a − 2b + d) = 0 Musi to być prawdziwe dla każdego x, więc powstaje układ trzech równań, z którego uzależnię od siebie a,b,c,d. Po rozwiązaniu układu wyszło mi
 2 
a =

c + d
 3 
 1 
b =

c + d
 3 
Podstawiam do w = a(x2+5x+1) + b(4x2 − x − 2) i po przekształceniach wychodzi w = c(2x2 − 3x) + d(5x2 + 4x − 1) W takim razie bazę V∩W tworzą 2x2 − 3x, 5x2 + 4x − 1. Ta baza jest identyczna z bazą W (co nie jest dziwne jak się teraz zastanawiam, w końcu rozwiązałem układ równań. Albo trochę namieszałem albo zrobiłem wiele rzeczy zupełnie bez sensu). Tak czy inaczej prosiłbym o komentarz.
10 mar 18:17
Omikron: Tam miało być 2x2 + 3x w ostatniej bazie, błąd obliczeniowy, którego nie poprawiłem tutaj.
10 mar 18:19
jc: Rozumowanie ok, mała usterka a +4b − 2c − 5d =0 5a − b − 3c − 4d =0 a − b + d = 0 .... Sam jednak liczyłbym inaczej. Przekształcałbym pierwszą bazę. 1 5 1 4 −1 −2 2 10 2 4 −1 −2 6 9 0 4 −1 −2 2 3 0 4 −1 −2 2 3 0 0 7 2 Druga baza 2 3 0 / 5 5 4 −1 / −2 2 3 0 0 7 2 Wniosek: to są równe przestrzenie, czyli jest tak, jak piszesz.
10 mar 19:06
Omikron: Dziękuję!
10 mar 19:21