fggd Laufer: Witam, Dobrze to rozwiązałem? Dwa okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie P. Poprowadzono styczną do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B. Wykaż, że kąt APB jest prosty −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Jeżeli poprowadzimy odcinek |PC|, to wówczas |AC|=|PC|=|CB|=R. Czyli jest to trójkąt prostokątny, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie. Może być?

Jerzy: Nie może. Gdzie jest napisane,że okręgi maja taki sam promień ?

Laufer: Nie założyłem tak. Nie jest prawdą, że |AC|=|PC|=|CB|? Przecież są to odcinki powstałe z przecięcia prostych przechodzących przez punkty styczności. Więc muszą być równe

Jerzy: Kąt APB = 180 − (x + y) , gdzie x i y to katy pomiedzy cięciwami i styczną Mamy: x = 90 − α i y = 90 − β Czyli : kąt APB = 180 − [(90 − α) + (90 − β)] = α + β Dalej mamy: (α + β) + (α +β)β = 180 ⇔ 2(α + β) =180 ⇔ α + β = 90 cnw.

Jerzy: Ostatnia linijka: (α + β) + (α + β) = 180 ⇔ 2(α + β) = 180 ⇔ α + β = 90 cnw.

PW: Jerzy, właśnie miałem rysować ten trapez, ale nie zdążyłem, bo zacząłem się zastanawiać czy uczeń wie, że prosta przechodząca przez środki okręgów zawiera punkt styczności P. Jest to istotne w tym zadaniu, powinno się to wyraźnie napisać, a nie wiem czy jest takie twierdzenie w szkole, czy też uznać to za fakt oczywisty.

Pytający: Analizując to co napisał Laufer. Dorysujmy prostą PC taką, żeby była ona styczna od okręgów O₁ i O₂ w punkcie P. Wówczas dla okręgu O₁ mamy, że |AC|=|PC| (z tw. o stycznych do okręgu) Analogicznie dla okręgu O₂ mamy, że |BC|=|PC|, zatem |AC| = |BC| = |PC|. Oznacza to, że punkt C jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABP (jest równoodległy od każdego wierzchołka trójkąta). Zauważmy, że AB jest średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABP, wobec tego kąt APB jest oparty na średnicy, czyli jest to kąt prosty. Wobec tego trójkąt ABP jest prostokątny.

PW: No właśnie tego brakło Laufrowi w jego opisie − co to za odcinek PC. Tu również zastanawiam się − czy jest oczywiste, że styczna w punkcie P do jednego z okręgów jest styczną do drugiego. Uznać to za oczywiste, bo tak narysowano, czy jakoś uzasadnić? Matematycy w takiej sytuacji zwykli pisać: "Jest oczywiste że ...". Jestem ciekawy, czy Laufer podałby zgrabne usasadnienie.