Trygonometria JS: Jak wyrazić sin(6x) oraz cos(6x) jako sumę potęg sin(x) oraz cos(x)?
10 lut 18:54
Mila: Studia?
10 lut 18:55
JS: Tak. A co?
10 lut 18:57
PW: Bo łatwo podpowiedzieć w takim razie: − Oblicz (sinx+icosx)6 dwoma sposobami.
10 lut 19:06
Mila: To możesz zastosować liczby zespolone. (cosx+isinx)6=cos(6x)+i sin(6x) Lewą stronę podnieś do 6 potęgi wg wzoru Newtona i porównaj odpowiednio części rzeczywiste i urojone. Pisz w razie kłopotów. Albo 1) sin(6x)=2 sin3x cos3x na sin (3x) i cos(3x) są wzory w tablicach 2) cos(6x)=cos2(3x)−sin2(3x)
10 lut 19:06
studentka: ale to jest mądre
10 lut 19:09
PW: Mila dobrze napisała, ja "przekręciłem" część rzeczywistą i urojoną − w takiej postaci nie można zastosować wzoru de Moivre'a.
10 lut 19:15
JS: (cosx+isinx)6=cos6x+6cos5xisinx+15cos4xisin2x+20cos3xisin3x+15cos2xi sin4x+6cosxisin5x+isin6x. Wyszło mi coś takiego. I które z tych składników wybieram do sin(6x), a które do cos(6x)?
10 lut 19:37
JS: Bo nie wiem co dalej.
10 lut 20:09
Mila: Piszęemotka
10 lut 20:19
Mila: Pomoc : i2=−1 i3=−i i4=1 i5=i i6=i2*i2*i2=−1 =========== cos(6x)+sin(6x)= =cos6x+6cos5sinx* i−15cos4x*sin2x−20cos3x*sin3x*i+15cos2x*sin4x+ 6cosx*sin5x*i−sin6x cos(6x)=cos6x−15cos4x*sin2x+15cos2x*sin4x−sin6x cos(6x) porównujesz z częścią rzeczywistą sinx porównujesz z częścią urojoną sin(6x)=6cos5x *sinx−20cos3x*sin3x+6cosx*sin5x
10 lut 20:44
JS: Okej, dzięki
10 lut 21:00
Mila: emotka
10 lut 21:40
jc: cos (n+1)x = cos x cos nx − sin x sin nx cos (n−1)x = cos x cos nx + sin x sin nx Dodajemy cos (n+1)x + cos(n−1)x = 2cos x cos nx lub naczej cos (n+1)x = 2cos x cos nx − cos(n−1)x t = cos x, cos nx = p(n) p(n+1)=2t p(n) − p(n−1), p(0)=1, p(1)=t p(2)=2t*t−1=2t1−1 p(3)=2t(2t2−1)−t=4t3−3t p(4)=2t(4t3−3t)−(2t1−1)=8t4−8t2+1 p(5)=2t(8t4−8t2+1)−(4t3−3t)=16t5−20t3+5t p(6)=2t(16t5−20t3+5t)−(8t4−8t2+1)=32t6−48t4+18t2−1 czyli cos 6x = 32 cos6x − 48cos4x+18cos2x−1
10 lut 22:09
ABC: hoho, jc wytaszczył wielomiany Czebyszewa emotka
10 lut 22:13
jc: Krócej cos 3x=4cos3x−3cos x cos 2y=2cos2y − 1 cos 6x=2(4cos3x−3cos x)2−1=32cos6x − 48cos4x + 18cos2x−1
10 lut 22:13
jc: Tak, ale przy okazji uświadomiłem sobie, że Pnk(x)=Pn(Pk(x)). Do czego to można wykorzystać?
10 lut 22:15
ABC: można np. zapisać cos(n arccos x) za pomocą tego: cos(2 arc cos x)=2x2−1 cos (3 arc cos x)=4x3−3x itd
10 lut 22:23