średnie Ala: Jak najłatwiej udowodnić, że średnia arytmetyczna jest zawsze większa równa od geometrycznej?
9 lut 18:51
ABC: Ala w przypadku ogólnym? to najpierw dla n=2, 4, 8 ,... a potem przez indukcję wsteczną można
9 lut 19:01
PW: Dla dwóch składników nieujemnych a i b: (ab)2 ≥ 0 a−2ab+b ≥ 0 a+b ≥ 2ab, przy czym jest oczywiste, że równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy gdy a=b.
9 lut 19:02
Ala: Tak, w ogólnym przypadku. Słyszałam o tej indukcji wstecznej ale zastanawiam się, czy nie ma może innych też dosyć prostych sposobów.
9 lut 19:03
Adamm: Nie jest to najłatwiejszy, ale najładniejszy dowód. Najłatwiejszy jest przez wypukłość. Dowód Cauchy'ego Tutaj an≥0
a1+a2 

a1a2 − prosta nierówność
2 
 a1+...+a2n 
Jeśli

≥ (a1...a2n)1/2n dla dowolnych nieujemnych
 2n 
a1, ..., a2n, to
a1+...+a2n+1 

2n+1 
(a1...a2n)1/2n+(a2n+1...a2n+1)1/2n 

2 
(a1...a2n+1)1/2n+1 zatem przez indukcję, nierówność zachodzi dla potęg dwójki Ale jeśli
a1+...+an+1 

≥ (a1...an+1)1/(n+1)
n+1 
to jeśli przyjąć an+1 tak by
a1+...+an+1 a1+...+an 

=

n+1 n 
t. j.
 a1+...+an 
an+1 =

 n 
to mamy
a1+...+an 1 


(a1+...+an)1/(n+1)(a1...an)1/(n+1)
n n1/(n+1) 
 a1+...+an 
(

)n/(n+1) ≥ (a1...an)1/(n+1)
 n 
a1+...+an 

≥ (a1...an)1/n
n 
zatem nierówność jest prawdziwa dla każdego n
9 lut 19:05
Adamm: Ponieważ lnx jest funkcją wklęsłą, więc dla, tym razem dodatnich ai, mamy
 1 1 
ln(

∑ ai) ≥

∑ ln(ai)
 n n 
skąd od razu
1 

∑ ai ≥ (∏ ai)1/n
n 
9 lut 19:09
Ala: Dziękuję bardzo emotka
9 lut 19:12
PW: W rosyjskiej książce sprzed 40 lat mam taki sposób (przy odpowiednich założeniach): 1. dowodzi się przez indukcję, że jeżeli x1x2...xn = 1, to x1+x2+...xn ≥ n, 2. podstawia się
 ai 
xi=

 na1a2...an 
i gotowe.
9 lut 19:25
ABC: też to mam w takiej cieniutkiej zielonej ksiazeczce "Inequalities" wydanej przez sowieckie wydawnictwo "Mir " po angielsku,autor w transkrypcji angielskiej Korovkin emotka
9 lut 19:28
PW: Ta moja ma tytuł "Praktikum po rieszeniu matiematiczeskich zadacz", autorki Wieriesowa, Denisowa, Poliakowa. Dużo ładnych trudnych zadań ułożonych w kolejności sprzyjającej uczeniu się. Gdybym umiał wszystko co jest w tej książeczce...
9 lut 19:36
ABC: a tego nie znam, ciekawe czy gdzieś pdf można w necie znaleźć emotka
9 lut 19:39