Liczby zespolone JS: Jak rozwiązać równanie zespolone z2=−4i*(z sprzężone)
8 lut 13:48
Jerzy: Np tak: (x + iy)2 + 4i*(x − iy) = 0
8 lut 13:59
jc: Porównanie modułów obu stron daje |z|2 = 4|z|, a więc z=0 lub |z|=4. Załóżmy teraz, że |z|=4. Mnożymy obie strony przez z. z3= −i43
 −1+i 3 −1−i 3 
z=4i lub z= 4i*

lub z= 4i*

.
 2 2 
Sam wykonaj mnożenie.
8 lut 14:04
JS: Sorry, pomyliłem się. Miało być z3=−4i*(z sprzężone). I trzeba naszkicować zbiór rozwiązań.
8 lut 14:21
jc: No to jeszcze prościej. |z|3=4|z| z=0 lub |z|=2 z4=−16i Wzór de'Moivre da Ci 4 rozwiązania.
8 lut 14:27
jc: ( 2 + 1 + i 2 − 1)2=2(1+i) ( 2 + 1 + i 2 − 1)4=4i ( 2 + 1 − i 2 − 1)4=−4i Czyli prawie masz jedno z rozwiązań, wystarczy pomnożyć przez 2. Pozostałe rozwiązania uzyskasz mnożąc posiadane rozwiązanie przez −1, i, −i.
8 lut 14:34
JS: A to nie jest tak, że jak jest pierwiastek n−tego stopnia to ma się n rozwiązań?
8 lut 14:57
jc: No przecież masz 4 rozwiązania: pierwsze −pierwsze i*pierwsze −i*pierwsze
8 lut 15:15
Mila: z3=−4i z* 1) z=0 spełnia równanie 2) z≠0, skorzystamy z postaci wykładniczej liczby z. z=|z|*eφ i i 0≤φ<2π |z|3*e3φ i=4*e2*|z|*e−φ i |z|3*e3φ i=4|z|*e2−φ i⇔ |z|3=4|z| i 3φ=2−φ +2kπ, k∊{0,1,2}
  
|z|=2 i 4φ=

+2kπ
 2 
   11π 
φ=

lub φ=

lub φ=

 8 8 8 
Stąd
   
z0=2*(cos

+i sin

) lub
 8 8 
   
z1=2*(cos

+i sin

) lub
 8 8 
 11π 11π 
z2=2*(cos

+i sin

)
 8 8 
=======================
8 lut 20:37