funkcja tworząca micxd: Konstruując odpowiednią funkcję tworzącą, rozwiąż rekurencje. { 1 dla n=0 an={ 0 dla n=1 { an1 −2*an2 −1 dla n≥2 nie rozumiem tych funkcji tworzących, potrzebuje pomocy
17 sty 22:46
Mila: Jutro, ale może Mariusz będzie dzisiaj to napisze.
17 sty 23:45
Mariusz: Funkcja tworząca która tutaj najlepiej pasuje to A(x)=∑n=0anxn Dla ciągu jedynek daje ona szereg geometryczny Jeśli nie znasz uogólnionego dwumianu Newtona to czasem przydatne będzie różniczkowanie szeregu geometrycznego Twoja rekurencja zachodzi od dla n≥2 więc sumujesz od n=2 do n=2anxn=∑n=2an−1xn−∑n=22an−2xn−∑n=2xn Przesuwamy indeksy sumowania do n=0
 x2 
n=2anxn=x(∑n=2an−1xn−1)−2x2(∑n=2an−2xn−2)−

 1−x 
 x2 
n=2anxn=x(∑n=1anxn)−2x2(∑n=0anxn)−

 1−x 
 x2 
n=0anxn−1−0x=x(∑n=0anxn−1)−2x2(∑n=0anxn)−

 1−x 
 x2 
A(x)−1=x(A(x)−1)−2x2A(x)−

 1−x 
 x2 
A(x)−xA(x)+2x2A(x)=1−x−

 1−x 
 (1−x)2−x2 
A(x)(1−x+2x2)=

 1−x 
 1−2x 
A(x)(1−x+2x2)=

 1−x 
 1−2x 
A(x)=

 (1−x+2x2)(1−x) 
1−2x A B C 

=

+

+

(1−x+2x2)(1−x) 1−λ1x 1−λ2x 1−λ3x 
A(1−λ2x)(1−λ3x)+B(1−λ1x)(1−λ3x)+C(1−λ1x)(1−λ2x)=1−2x A(1−(λ23)x+λ2λ3x2)+B(1−(λ13)x+λ1λ3x2) +C(1−(λ12)x+λ1λ2x2) A + B + C = 1 (λ23)A+(λ13)B+(λ12)C=2 λ2λ3A+λ1λ3B+λ1λ2C=0 Rozwiązujesz układ równań chociażby licząc macierz odwrotną i mnożąc lewostronnie przez nią równanie macierzowe AX=B
 1 7 
1−x+2x2=(1−

x)2+

x2
 2 4 
 1 7i 1 7i 
1−x+2x2=(1−

x−

x)(1−

x+

x)
 2 2 2 2 
 1+7i 1−7i 
1−x+2x2=(1−

x)(1−

x)
 2 2 
czyli np λ1=1
 1+7i 
λ2=

 2 
 1−7i 
λ3=

 2 
Rozwiązanie układu równań dla tak przyjętych λ to
 1 
A=−

 2 
 1 
B=

(21+7i)
 28 
 1 
C=

(21−7i)
 28 
Mamy zatem
 1 1 1+7i 
A(x)=−

n=0nxn+

(21+7i)∑n=0n(

)nxn
 2 28 2 
 1 1−7i 
+

(21−7i)∑n=0n(

)nxn
 28 2 
 1 1 1+7i 1 1−7i 
an=−

+

(21+7i)(

)n+

(21−7i)(

)n
 2 28 2 28 2 
Można jeszcze przejść na postać trygonometryczną i wykonać na niej potrzebne mnożenia i potęgowania θ1=arctan(7) θ2=−θ1
 7 
φ1=arctan(

)
 21 
φ2=−φ1
27 

(cos(φ1)+isin(φ1))2n(cos(nθ1)+isin(nθ1))
7 
27 

(2)n(cos(nθ11)+isin(nθ11))
7 
 27 
+

(2)n(cos(nθ22)+isin(nθ22))
 7 
27 

(2)n(cos(nθ11)+isin(nθ11))
7 
 27 
+

(2)n(cos(−nθ1−φ1)+isin(−nθ1−φ1))
 7 
27 

(2)n(cos(nθ11)+isin(nθ11))
7 
 27 
+

(2)n(cos(−(nθ11))+isin(−(nθ11)))
 7 
27 

(2)n(cos(nθ11)+isin(nθ11))
7 
 27 
+

(2)n(cos(nθ11)−isin(nθ11))
 7 
 1 47 
an=−

+

(2)ncos(nθ+φ)
 2 7 
gdzie θ=arctan(7)
 7 
φ=arctan(

)
 21 
18 sty 06:45
Mariusz: Gdyby na stronie był jakiś tex to może bym rozwiązał ten układ z wykorzystaniem macierzy odwrotnej a tak bez texa to kiepsko zwłaszcza jeśli chodzi o algebrę liniową
18 sty 06:49
Mila: Chyba coś w treści pokręcił mix, bo bardzo skomplikowany wzór tego ciągu. Bardzo się napracowałeś Mariusz. emotka
18 sty 16:35