Zbadaj podprzestrzen i baze Tomasz: W przestrzeni dany jest podzbiór W = {(x1, x2, x3): 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0}. a) Zbadać, czy W jest podprzestrzenią. Jeżeli tak, to: b) Podać przykład bazy przestrzeni W Proszę pomoc bo naprawdę nie wiem jak to zrobić
10 sty 16:36
grzest:
 2 3 
W = {(x1, x2, x3): 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0} ⇒ x3=−

x1

x2
 5 5 
Zauważ, że podzbiór W wyznaczają wszystkie wektory postaci:
 2 3 
(x1, x2, x3) = (x1,x2, −

x1

x2), gdzie x1, x2 ∊R (zakładam, że przestrzeń
 5 5 
zbudowana jest nad ciałem R). Aby W był podprzestrzenią, dla wszystkich u, v ∊ W i a∊ R muszą być spełnione warunki: 1. 0 ∊ W , 2. av ∊ W 3. u+v ∊ W. Zbiór W spełnia te (łatwe do sprawdzenia) warunki, jest więc podprzestrzenią. Dowolny wektor z W można przedstawić jako:
 2 3 2 3 2 3 
(s,t,−

s−

t)=(s,0,−

s)+ (0,t,−

t) = (1,0,−

)s+ (0,1,−

)t,
 5 5 5 5 5 5 
s,t∊R. Przykładowa baza w podprzestrzeni W:
 2 3 
{ (1,0,−

), (0,1,−

)}.
 5 5 
11 sty 10:14