Nierówności arr: Cześć! Przychodzę znowu z prośbą o pomoc, aby udowodnić prawdziwość tych trzech nierówności: a) a2 + b2 + c23abc, wiedząc że a, b, c > 0 i a + b + c ≥ abc
 b − c c − a a − b 
b) (1+

)a *(1+

)b *(1+

)c ≤ 1 gdzie a b c są długościami boków
 a b c 
dowolnego trójkąta
 a + b + c a + b + c 
c) aabbcc ≥ (abc)(

) dla a, b, c ∊N+ (ułamek

jest w
 3 3 
wykładniku potegi o podstawie abc) Nie mam pojęcia, jak się do tego zabrać.
10 sty 11:16
vedkav: a) Nie wiem czy pomogę, bo zauważ, że np a2+b2=(a+b)2−2ab bo (a+b)2−2ab= a2+2ab +b2 −2ab=a2+b2 I na tej podstawie a2+b2+c23abc (a+b+c)2 −2ab−2ac−2bc≥3abc i wiemy też, że a+b+c≥3abc a+b+c≥3abc|* ()2 (a+b+c)≥3a2b2c2 No i dalej czarny punkt, bo nie przychodzi mi do głowy jak to wykorzystać
10 sty 13:52
arr: Dzięki wielkie za fatygę, ale chyba nie wiem jak to dalej wykorzystać. Tak w ogóle to wiemy, że a + b + c ≥ abc a nie 3abc. Czy mógłby ktoś pomóc?
10 sty 16:53
arr: Ktoś coś?
10 sty 19:06
10 sty 22:19
jc: Wypukłość.
a2+b2+c2 a+b+c 

≥(

)3, wypukłość funkcji x→x2
3 3 
 1 
a2+b2+c2

(a+b+c)2
 3 
a+b+c ≥ abc , inaczej (a+b+c)1/2 ≥ (abc)1/2, założenie
a+b+c 

3abc, stąd (a+b+c)3/2 ≥ 33/2(abc)1/2, nierówność pomiędzy średnimi
3 
Mnożymy stronami j dzielimy przez 3.
1 

(a+b+c)2 ≥ 31/2 abc
3 
KONIEC
10 sty 23:14
jc:
a ln a + b ln b + c ln c a+b+c a+b+c 


ln

, wypukłość funkcji x→x ln x
3 3 3 
 a+b+c ln a + ln b + ln c 

*

, wypukłość (w drugą stronę) funkcji x→ln x
 3 3 
ln aabbcc ≥ ln(abc)(1+b+c)/3 aabbcc ≥ (abc)(1+b+c)/3
11 sty 00:49
Adamm: Można po prostu powiedzieć 'wklęsłość'
11 sty 02:22