Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej alex: Udowodnij stosując zasadę indukcji matematycznej, że dla dowolnej liczby naturalnej n, n7−n jest podzielne przez 42
8 sty 15:44
Franek: Ty, jak to jest essa Weź se tego ena przed nawiasik, masz tam n6−1, wzorek skróconego Jana Brzechwy (n3−1)(n3+1) Pierwszy nawias to wzór Jana Sobieskiego n(n−1)(n2+n+1)(n3+1) I cyk, ogarniasz, że to jest podzielne przez 42 emotka
8 sty 16:53
ABC: poeta tylko głowa nie ta na piechotę nie jest zupełnie trywialne żeby to udowodnić najlepiej przejść do postaci : n7−n=n(n6−1)=n((n2)3−13)=n(n2−1)(n4+n2+1)=(n−1)n(n+1)[(n4+2n2+1)−n2]= (n−1)n(n+1)[(n2+1)2−n2]=(n−1)n(n+1)(n2−n+1)(n2+n+1) podzielność przez 2 i przez 3 jest widoczna natychmiast ale z podzielności przez 7 trzeba się wytłumaczyć emotka A zresztą jak mu kazali przez indukcję to niech robi przez indukcję .
8 sty 17:28
Mariusz: ABC z indukcji to właśnie podzielność przez 7 ładnie wychodzi a z podzielności przez 6 trzeba się wytłumaczyć Dla n=0 n=0 42|0 Zakładamy że jest podzielne dla n=k 42|k7−k Sprawdzamy podzielność dla n=k+1 42|(k+1)7−(k+1) 42|k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1−k−1 42|(k7−k)+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k 42|(k7−k)+7(k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k) k7−k jest podzielne z założenia Trzeba tylko pokazać że 6|k6+3k5+5k4+5k3+3k2+k Można znowu próbować indukcji
9 sty 14:06
ABC: Mariusz jak bym rozłożył: k(k+1)(k2+k+1)(k2+k+1) i uzasadniał jakoś tak: któraś z liczb k, k+1 jest parzysta jeśli ani k ani k+1 nie dzielą się przez 3, to k daje resztę 1 z dzielenia przez 3, ale wtedy k2+k+1≡12+1+1 (mod3) czyli także wtedy ten iloczyn się dzieli przez 3
9 sty 14:43
Mariusz: To zadanie byłoby zaakceptowane bo przynajmniej raz została zastosowana indukcja
9 sty 19:01
ABC: oby jego nauczyciel tak samo pomyślał emotka
9 sty 19:21