Szeregi i ciągi. kasia: 1) (Rozdział: Ciągi i szeregi zespolone) {zn}⊂ℂ zn=xn+iyn stąd (zn→z=x+iy)⇔(xn→x ⋀ yn→y) (para ciągów rzeczywistych) Nie wiem czy dobrze rozumiem ten zapis. Wydaje mi się, że chodzi o to, że ciąg zn zbiega do pewnej liczy zespolonej z, wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg xn zbiega do x i ciąg yn zbiega do y. Jeśli się mylę, będę wdzięczna, za poprawienie mnie.
 −1 
2) Jeśli miałabym szereg ∑

to czy mogę określić czy będzie on zbieżny? Bo wydaje mi
 2n2 
się, że większość kryteriów jest dla ciągów nieujemnych. Plus czy mogłabym ewentualnie zapisać
 1 
to jako −1∑

i zrobić to z kryterium porównawczego? Hm, lub skorzystać z kryterium
 2n2 
Leibniza? Pozdrawiam.
7 sty 20:48
kasia: Z kryterium Leibniza nie mogę tu skorzystać na pewno. Pomyliłam się.
7 sty 20:54
ABC: Kasia ad.1) dobrze myślisz
 1 π2 
ad.2) myślałem że każdy zna równość ∑n=1

=

 n2 6 
 1 
a nawet nie trzeba jej znać , łatwo pokazać że ∑

jest rosnący i ograniczony z góry ,
 n2 
więc zbieżny
7 sty 20:55
kasia: @ABC, hej! Pierwszy raz widzę na oczy tę równość, dzięki! Przykład podałam z głowy na szybko, w myślach raczej miałam ogólnie szeregi o wyrazach ujemnych i czy ze znajomością kryteriów, które znam (Cauchy, d'Alambert, porównawcze, ilorazowe, Leibniza) mogłabym jakoś na nich działać?
7 sty 20:58
ABC: jeżeli możesz sprowadzić szereg o wyrazach ujemnych do szeregu o wyrazach dodatnich to zrób to, jak masz naprzemienny to też możesz próbować najpierw zbieżność bezwzględną zbadać a potem inne kryteria np Leibniza
7 sty 21:01
kasia: Bardzo Ci dziękuję! Spokojnego wieczoru. emotka
7 sty 21:02
kasia: A od razu zapytam przy okazji. Czy kryterium d'Alamberta jest tylko dla nieujemnych? Bo spojrzałam właśnie do książki i nic tam nie jest wspomniane, a wartość bezwzględna mogłaby sugerować, że mogą to być również wyrazy ujemne.
7 sty 21:13
ABC: różne książki podają różne wersje kryt. d'Alemberta i Cauchy'ego , w najbardziej ogólnym przypadku niekoniecznie dla nieujemnych tylko można stosować,tak jak mówisz jest wersja z wartością bezwzgl. jeśli chodzi o kryt. Cauchy'ego to istnieje wersja z granicą górną zamiast granicy itd.
7 sty 21:21
Adamm: kryterium d'Alemberta również można wzmocnić w ten sposób: lim inf an+1/an > 1 to szereg jest rozbieżny lim sup an+1/an < 1 to szereg jest zbieżny również w tym sensie kryterium d'Alemberta jest słabsze od kryterium Cauchy'ego (lim inf nie da się zastąpić lim sup tak jak w kryterium Cauchy'ego)
7 sty 22:40
7 sty 22:45