wielomiany, pierwiastek trzykrotny marekarek: Dla jakiej wartości parametru m wielomian W(x)=2x4−2x3−6x2+10x+m ma pierwiastek trzykrotny?
7 sty 13:14
ABC: trzykrotny pierwiastek wielomianu musi być dwukrotnym pierwiastkiem jego pochodnej jak również pierwiastkiem jego drugiej pochodnej pochodna wielomianu W'(x)=8x3−6x2−12x+10=2(x−1)(x−1)(4x+5) druga pochodna W"(x)=24x2−12x−12=12(x−1)(2x+1) zatem jedynym kandydatem na trzykrotny pierwiastek jest liczba 1, sprawdzamy czy ten kandydat pasuje: w(1)=0⇒2−2−6+10+m=0⇒m=−4 W(x)=2x4−2x3−6x2+10x−4=2(x−1)3(x+2) ok, czyli odpowiedź: dla m=−4
7 sty 13:52
PW: Jeżeli nie znamy twierdzenia zastosowanego przez ABC, to można rozwiązać zadanie prostym, ale żmudnym sposobiem, którego oczywiście nie zalecam.
 m 
Badany wielomian ma postać 2(x4−x3−3x2+5x+

)
 2 
Wielomian, który ma potrójny pierwiastek p, ma również drugi pierwiastek q, ma więc postać 2(x−p)3(x−q) = 2(x3−3x2p+3xp2−p3)(x−q)=2(x4−3px3+3p2x2−p3x−qx3+3pqx2−3p2qx+p3q)= = 2(x4−(3p+q)x3+(3p2+3pq)x2−(p3+3p2q)x+p3q) Przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach daje układ równań (1) 1=3p+q, (2) −3=3p2+3pq, (3) 5=−(p3+3p2q),
 m 
(4)

=p3q.
 2 
Z (1) q=1−3p podst. do (2): −1=p2+p(1−3p) 2p2−p−1=0 p=−2 lub p=1 i odpowiednio q=7 lub q=−2 Podstawienie par (−2, 7) lub (1, −2) do (3) daje 5=−(−8+84) − zdanie fałszywe, para (−2, 7) nie jest rozwiązaniem układu (1), (2), (3).
 m 
5=−(1−6) − zdanie prawdziwe, para (1, −2) jest rozwiązaniem, stąd

=13(−2)=−2 czyli m=−4
 2 
7 sty 15:01
marekarek: dzięki
7 sty 22:14
iteRacj@: Czy będzie również tak, że czterokrotny pierwiastek wielomianu musi być trzykrotnym pierwiastkiem pochodnej tego wielomianu i podwójnym pierwiastkiem jego drugiej pochodnej?
7 sty 23:30
ABC: Iteracja tak będzie
8 sty 09:25