nierówność dowód arr:
 a+b+c 
Wykaż, że jeżeli a,b,c są długościami boków trójkąta to 3

> a2+b2+c2
 2 
To rozwiązałem to zadanie tak: założenie a,b,c > 0, po przekształceniach różnych tezy wyszło mi 6ab +6bc + 6ac > a2 + b2 + c2 dalej skorzystałem ze znanej powszechnie nierówności a2 +b2 +c2 > ab + bc +ac −−> dla trójkąta nierównobocznego dodałem stronami i wychodzi 5ab + 5bc +5ac > 0 ⇔ ab +bc + ac > 0 zatem wszystko się zgadza, bo a,b,c > 0 dla trójkąta równobocznego a = b = c = x 6x2 + 6x2 + 6x2 > x2 + x2 + x2 15x2 > 0 czyli również się zgadza Pytanie moje: czy można jakoś szybciej/prościej Kombinowałem coś ze średnią kwadratową i arytmetyczną i wyszło mi, że musi zachodzić nierówność 3SA>2SK z trzech dodatnich liczb, ale nic mi nie wyszło.
5 sty 22:08
Eta: 2 sposób Z nierówności trójkąta a+b+c>2c ⇒ (a+b+c)2>4c2 a+b+c>2b ⇒(a+b+c)2>4b2 a+b+c>2a ⇒(a+b+c)2>4a2
  3(a+b+c)2 
to

>a2+b2+c2 /
 4 
 3(a+b+c) 

>a2+b2+c2
 2 
c.n.w. 3 sposób z tw. kosinusów .........
5 sty 22:40
jc: a= y+z, b=z+x, c=x+y dla pewnych dodatnich x,y,z. 3(x+y+z)=(y+z)2+(z+x)2+(x+y)2 ⇔3(x+y+z)2>(y+z)2+(z+x)2+(x+y)2 ⇔x2+y2+z2 + 4yz + 4zx + 4xy > 0, co faktycznie ma miejsce.
5 sty 22:42
jc: Wydaje się, że mamy mocniejszą nierówność:
a+b+c 

> a2+b2+c2
2 
przy założeniu, że a, b, c są długościami boków trójkąta.
5 sty 22:50
arr: Dziękuję Wam bardzo. Faktycznie można prościej. Zaraz wypróbuję tw. kosinusów.
5 sty 23:05
qwerty: jc, pokażesz/dasz wskazówkę jak tą mocniejszą nierówność udowodnić?
5 sty 23:56
jc: Zastąp pierwiastek z 3 pierwiastkiem z 2. Przepisz kolejne linie dowodu. Ostania linia nadal będzie prawdziwa. 2xy+2yz+2zx > 0.
6 sty 00:28
Eta:
 a+b+c 

>a2+b2+c2
 2 
zachodzi dla Δ prostokątnego równoramiennego
6 sty 00:35
jc: L=(1+1+2)/2 = 1+2 P=1+1+2=2 Najgorzej będzie dla wyciągniętego trójkąta: a=b=1, c=bardzo małe. Wtedy lewa strona będzie bliska prawej.
6 sty 00:54
qwerty: Rozumiem, dziękuję emotka
6 sty 12:57
arr: Czy mogę dostać wskazówkę, aby dowieść z twierdzeniem kosinusów, bo jednak nie widzę jego zastosowania?
6 sty 14:11
Eta: a2=b2+c2−2bc*cosα i cosα≤1 b2=a2+c2−2ac*cosβ i cosβ≤1 c2=a2+b2−2ab*cosγ i cosγ≤1 dodając stronami po przekształceniach otrzymujemy a2+b2+c2≤2ab+2ac+2bc< 3(2ab+2ac+2bc) to 4(a2+b2+c2) < 3(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc) ........................... otrzymasz tezę
6 sty 14:28
arr: Dziękuję bardzo. emotka
7 sty 23:28
Eta: emotka
7 sty 23:56