granice 4xel: jak to poprawnie rozwiązać ?
 8−x 
lim

 sin1/8πx 
x→8
15 gru 14:29
Jerzy: Reguła H.
15 gru 15:51
Mariusz: L'Hospital rule gives here so called circular reasoning
15 gru 15:53
Jerzy:
 −1 
= lim

= 8
 1/8*cos(1/8πx) 
15 gru 16:14
Jerzy:
 8 
Zgubiłem π po 1/8 w mianowniku... =

 π 
15 gru 16:17
Mariusz: Jerzy pokaż jak liczysz pochodną mianownika wsk Trzeba liczenie pochodnej pokazać z tzw definicji
15 gru 16:54
Jerzy: A kto powiedział,że mamy liczyć pochodną z definicji ?
15 gru 17:01
Mariusz: Aby pokazać że tzw reguła H się tutaj zapętla
15 gru 17:36
Jerzy: Gdzie się zapętla ?
15 gru 17:43
Mariusz:
 (8−x)−0 
limx→8

 x−8 
 

 sin(1/8πx)−sin(π) 
limx→8

 x−8 
 
 8−x 
limx→8

 x−8 
 

 sin(1/8πx) 
limx→8

 x−8 
 
czyli mamy pętelkę w mianowniku Gdybyś pisał program do obliczeń symbolicznych to reguła H dałaby ci nieskończoną pętle
15 gru 17:55
Jerzy: Jaka jest pochodna funkcji f(x) = sin(a*π*x) ?
15 gru 18:16
Mariusz: Masz pokazane dlaczego reguła H się pętli aby policzyć pochodną funkcji sin(aπx)
 sin(x) 
trzeba obliczenia sprowadzić do granicy limx→0

 x 
a następnie po krótkiej analizie geometrycznej wziąć potrzebne do trzech ciągów nierówności P.S. Nie wiem czemu cię wypuścili ze szkoły średniej skoro tego nie wiesz
15 gru 18:39
Jerzy: Nie odpowiedziałeś na moje proste pytanie. I zadam ci jesze jedno. Od kiedy przy stosowaniu reguły H wymagane jest liczenie pochodnych z definicji ?
15 gru 18:42
Jerzy: I proszę bez osobistych wycieczek, jeśli wiesz, co to oznacza ?
15 gru 18:43
Adamm: sin(x) = Im(exi) (sin(x))' = Im((exi)') = Im(iexi) = cos(x) Kto powiedział że liczenie z definicji jest jedyną metodą liczenia pochodnych? Proszę nie korzystać z tego forum jako miejsca Pana osobistych potyczek, bo to jest śmieszne
15 gru 19:08
Jerzy: Do kogo jest ta ostatnia uwaga ?
15 gru 19:15
Adamm: @Mariusz, oczywiście
15 gru 19:15
Mariusz: Adam nie masz pojęcia o nauczaniu Wprowadzałbyś zespolone tylko po to żeby policzyć pochodną funkcyj trygonometrycznych chociaż i tak nie pokazałeś prawdziwości twoich równości "Kto powiedział że liczenie z definicji jest jedyną metodą liczenia pochodnych?" Akurat do pokazania że reguła H będzie się pętlić trzeba to pokazać licząc granicę
15 gru 21:24
Mariusz: Gdyby 4xel "policzył" tę granicę zgodnie z tym co mu proponujecie to by dostał za to 0 pkt na egzaminie czy coloquium W liceum na używanie L'Hospitala do liczenia granic w ten sposób nie zwracano aż tak bardzo uwagi ale na studiach ćwiczeniowiec zwrócił mi
 sin(x) 
na to uwagę gdy chciałem LHospitalem granicę limx→0

 x 
15 gru 21:33
Mariusz: ale to od razu widać reguła H będzie się pętlić bo
sinx sinx−sin0 

=

x x−0 
 sinx 
czyli limx→0

to pochodna sinusa w zerze a jak wygląda reguła H
 x 
15 gru 21:38
jc: Mariusz, reguła H przydaje się właśnie w symbolicznych rachunkach. No i jest dobrym tematem zadań. Nie widziałem żadnych innych zastosowań. Adamm, Twój rachunek jest z definicji. Z definicji funkcji sinus emotka
15 gru 21:42
jc: Mariusz, umawiamy się (sin x)'=cos x, x' = 1 i nic się nie pętli. Faktycznie, sinus i kosinus można zdefiniować kilkoma równościami: (sin x)' = cos x, (cos x)' = − sin x, sin 0 = 0, cos 0 =1 Jeszcze trzeba zdefiniować π jako najmniejszą liczbę dodatnią taką, że cos π/2 = 0.
15 gru 21:45
Jerzy: @ Mariusz , jesteś niezły w te klocki, ale nie przeginaj.Nie zawsze masz rację i musisz się z tym pogodzić.
15 gru 22:27
Mariusz: jc wiem tylko aby to pokazać trzeba policzyć granicę
 sin(x+h)−sin(x) 
limh→0

 h 
 sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x) 
limh→0

 h 
 sin(x)cos(h)−sin(x)+cos(x)sin(h) 
limh→0

 h 
 sin(x)(cos(h)−1)+cos(x)sin(h) 
limh→0

 h 
 sin(x)(cos(h)−1) cos(x)sin(h) 
limh→0

+limh→0

 h h 
 cos(h)−1 sin(h) 
sin(x)limh→0

+cos(x)limh→0

 h h 
 cos(h)−1 
Aby policzyć granicę limh→0

mamy dwie możliwości
 h 
1. Przejście na kąty połówkowe 2. Domnożenie takiej jedynki aby możliwa była zamiana cosinusa na sinusa z wykorzystaniem jedynki trygonometrycznej
 cos(h)−1 (cos(h)−1)(cos(h)+1) 
limh→0

=limh→0

 h h(cos(h)+1) 
 cos2(h)−1 
=limh→0

 h(cos(h)+1) 
 −sin2(h) 
=limh→0

 h(cos(h)+1) 
 −sin(h)sin(h) 
=limh→0


 cos(h)+1h 
 −sin(h) sin(h) 
=limh→0

limh→0

 cos(h)+1 h 
 0 
=−

*1=0
 1+1 
 sin(h) 
Jeżeli chcemy policzyć granicę limh→0

 h 
to chyba najlepszym pomysłem będzie skorzystanie z trzech ciągów (funkcji) Jakie równości masz na myśli s(0)=0 c(0)=1 c2(x)+s2(x)=1 c(x+2kπ)=c(x) s(x+2kπ)=s(x) gdzie k∊ℤ Dla licealistów powinna wystarczyć taka definicja sinusa Na okręgu o środku w punkcie O promieniu jednostkowym obieramy punkt P i rzutujemy go na oś odciętych Punkt zrzutowany na oś odciętych nazwijmy P' Stosunek długości boku naprzeciw kąta P'P do długości promienia OP to sinus kąta Tak tylko czy oni autorowi pytania zaakceptują taką umowę Mogą mu tego nie zaakceptować skoro mnie ćwiczeniowiec zwrócił uwagę
15 gru 22:33
Jerzy: @ 21:33 ..... ten Twój "ćwiczeniowiec" , to Twój guru ? Też miałem kidyś na PO asystenta, ale trochę inaczej traktował ten temat.
15 gru 22:36
Jerzy: Miało być PK ( Politechnika Krakowska), ale palec się "omsknął" emotka
15 gru 22:42
jc: Mariusz, nie trzeba. Jeśli założysz, że (sin x)' = cos x, to nie nie masz czego dowodzić, no bo jak byś chciał udowodnić coś, co jest założeniem? Prostszy przykład (choć właściwie to samo). Niech e(x) będzie taką funkcją, że e'(x)=e(x) i e(0)=1. Udowodnij, że e'(x)=e(x). Przecież to bez sensu.
15 gru 22:43
Adamm: nie ma sprzeczności w skorzystaniu z reguły l'Hospitala, więc nie ma o czym dyskutować skądinąd wiemy że (sin(x))' = cos(x), i tego się trzymamy
15 gru 22:44
Adamm: Nie ma niczego złego w "odświeżaniu swojej pamięci". Powiedzmy że zachodzi q, ale zapomnieliśmy że zachodzi q. Udowodniliśmy wcześniej że q ⇒ p, stąd wiemy że p. Ale p ⇒ q. Czy jest błędem powiedzieć, że q? Oczywiście że nie!
 sin(h) 
Założę się że większość inżynierów nie wie że (sin(x))' = cos(x) bo limh→0

= 1.
 h 
Dla kogoś takiego jak matematyk, który dowodzi tych wszystkich wzorów własnoręcznie, to może być błąd, ale zwykły człowiek nie pamięta że ta granica tyle wynosi, ale wie ile to jest pochodna z sinusa. Co to są liczby rzeczywiste? Tego się nie uczy, ani w szkole, ani na studiach, no chyba że matematycznych. A przecież każdy używa ich z radością.
15 gru 23:08
jc: Adamm, Twój sposób jest lepszy od granicy (sin h)/h. eix= cos x + i sin x (eix)'= i eix (cos x)' + i (sin x)' = i (cos x +i sin x) Stąd (cos x)' = − sin x, (sin x)' = cos x.
15 gru 23:15
Mariusz: Tak tylko że wprowadza liczby zespolone poza tym też nie uzasadnia dlaczego pochodna z ex to ex Skoro do mnie się ćwiczeniowiec przyczepił to i do 4xela może jc naprawdę kiedyś wykładałeś czy tylko się chwalisz ?
15 gru 23:38
Adamm: ez = ∑n=0 zn/n!, szereg zbieżny bezwzględnie na C (ez)' = (∑n=0 zn/n!)' = ∑n=1 nzn−1/n! = ∑n=0 zn/n! = ez mogę tak dalej tylko po co mam ci to udowadniać?
15 gru 23:41
jc: Mariusz, kiedy się pochwaliłem? Nie pamiętam. Twój sposób jest dobrym ćwiczeniem na powtórzenie wzorów trygonometrycznych.
15 gru 23:43
Mariusz: Licealistom podaje się jednak "geometryczną" definicję funkcyj trygonometrycznych a liczbę e definiuje się za pomocą granicy podanej przez Daniela Bernoulliego
15 gru 23:43
jc: Mariusz, przy takich definicjach trudno jednak zachować ścisłość. Geometryczna definicja sinusa wymaga definicji długości łuku, choć można się bez tego obyć. Potrafimy kąt podzielić na pół, a więc potrafimy zmierzyć kąt z dowolną dokładnością. Tylko musimy mieć jakiś kąt odniesienia. W szkole jest to 360 stopni lub tajemnicze 2π, bo jest to długość łuku. Jak zdefiniujesz długość łuku? jako kres górny długości łamanej? A potem, jak sobie ściśle poradzisz z dowodem.
15 gru 23:52
Mariusz: ... i to jeszcze trzeba pokazać w sposób zrozumiały dla licealistów Ja pochodne i regułę de L'Hospitala miałem jeszcze w liceum mimo iż nie miałem już w liceum zespolonych a i jestem prawie 2x starszy od Adasia (wczoraj rozpoczął się kolejny rok życia) więc nie pamiętam dokładnie jak w szkole radziliśmy sobie z definicją długości łuku
16 gru 00:07