całki student: jak sie nauczyć całek
6 gru 20:57
Leszek: Jak bedziesz obliczal calki to spawdzaj swoj wynik obliczajac pochodna otrzymanego wyniku : np. Obliczyc calke : ∫ xex2 dx = { podstawienie x2 = t ⇒ 2x dx = dt } = = (1/2) ∫ et dt = (1/2)et + C = (1/2) ex2 + C Sprawdzenie : [ (1/2) ex2 ] ' = (1/2) ex2 * 2x = x ex2
6 gru 21:17
Jerzy: Jak rozwiążesz 200, to będziesz dobry/a.
6 gru 21:21
Jerzy: No widzisz, tą już będziesz umiał.
6 gru 21:22
Mariusz: Podstawowe pojęcia takie jak funkcja pierwotna , funkcja podcałkowa itd Podstawowe metody całkowania jak Liniowość całki (wynika z liniowości pochodnej) Całkowanie przez części (aby je wyprowadzić wychodzisz z pochodnej iloczynu) Jako przykład całkowania przez części możesz wyprowadzić sobie kilka przydatnych wzorów redukcyjnych Całkowanie przez zamianę zmiennych (aby je wyprowadzić wychodzisz z pochodnej złożenia) Całkowanie funkcji wymiernych 1. Dzielisz licznik przez mianownik (aby zapisać funkcję podcałkową w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej) 2. Wydzielasz część wymierną całki sposobem Ostrogradskiego
 L(x) L1(x) L2(x) 

dx=

+∫

dx
 M(x) M1(x) M2(x) 
gdzie M1(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M1(x)M2(x) a wielomiany w licznikach są stopnia mniejszego niż wielomiany w mianownikach Aby otrzymać NWD(M(x),M'(x)) nie musisz mieć danego rozkładu mianownika M(x) na czynniki wystarczy że będziesz brał reszty z kolejnych dzieleń podobnie jak w algorytmie Eukldesa dla liczb Jeśli jednak masz dany rozkład mianownika M(x) na czynniki to M2(x) posiada te same czynniki co M(x) tylko pojedyncze natomiast M1(x) posiada pozostałe czynniki mianownika M(x) Liczniki L1(x) oraz L2(x) znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych
 L(x) L1(x) L2(x) 

dx=

+∫

dx
 M(x) M1(x) M2(x) 
Różniczkujesz powyższą równość ,sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika i porównujesz liczniki 3. Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych Po zastosowaniu wydzielenia części wymiernej całki sposobem Ostrogradskiego masz pewność że w rozkładzie mianownika na czynniki nie będą się one powtarzać Ułamki proste jakie powinieneś dostać to
A 

x−a 
oraz
Bx+C 

x2+px+q 
gdzie p2−4q < 0
 A 
Z całki ∫

dx
 x−a 
od razu dostajesz logarytm
 Bx+C 
Aby policzyć całkę ∫

dx
 x2+px+q 
proponuję sprowadzić mianownik do postaci kanonicznej i podstawić
 p p2 
(x+

)2=(q−

)t2
 2 4 
Całkowanie funkcji niewymiernych Podstawienia Eulera ax2+bx+c=t−ax ax2+bx+c=xt−c ax2+bx+c=(x−x1)t Aby je wyprowadzić przecinasz krzywą y2=ax2+bx+c sieczną Podstawienia związane z całkowaniem różniczki dwumiennej ∫xm(a+bxn)pdx p∊ℤ x=ts s=nww (mianownik m,mianownik n)
m+1 

∊ℤ
n 
ts=a+bxn gdzie s to mianownik p
m+1 

+p∊ℤ
n 
 a+bxn 
ts=

 xn 
gdzie s to mianownik p Całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx Tutaj korzystając z jedynki trygonometrycznej zadziała pomysł znany z podstawień Eulera cos(x)=(1−sin(x))t
 x 
Na te całki działa podstawienie t=tg(

+θ)
 2 
gdzie θ=const Całki postaci ∫R(ecx)dx Tutaj podstawienie samo się narzuca Do tych całek sprowadzają się całki z hiperbolicusami Całkowanie przez rozwinięcie w szereg oraz sprowadzanie całek do znanych funkcji nieelementarnych Widziałem też jak jeden zaczął od definicji całki oznaczonej Ciąg podziałów odcinka, sumy Riemanna itd a później zdefiniował funkcję pierwotną za pomocą całki oznaczonej Przy liczeniu całek oznaczonych przydatny będzie wzór Newtona Leibniza a także wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki
7 gru 08:25
Bolek: Mariusz jak zwykle przepisuje podreczniki!
7 gru 11:00
Bolek: Obliczyc calke : k = const.
  sin(k/x) 

dx =
  (kx)2 
7 gru 11:05
jc: k≠0.
7 gru 11:06
Leszek: Przez podstawienie (k/x) = t ⇒ dx = (−x2)/k * dt
  sint   cos ( k/x)  

dt = (−1/k3) ( − cos t) + C =

+ C , k≠0
  − k3  k3 
I wykonaj sprawdzenie , oblicz pochodna otrzymanego wyniku
7 gru 11:18
Mariusz: Bolek to jak wy pisać nie na temat co ? Ja mu chociaż jakiś plan nauki wypisałem
7 gru 13:57
Bolek: Plan nauki to on ma w spisie podrecznika !
7 gru 14:03
Mariusz: Nie spamuj koleś
7 gru 18:35