aa Hugo: Rozwiązać następujące rekurencje liniowe a) Sn+1 = sn + 3sn1 jak się za takie zadanie zabrać? z góry dziękuję za pomoc emotka
5 gru 21:18
Adamm: x2−x−3 = 0 Δ = 13
 13 
x =

 2 
 1−13 1+13 
sn = c1(

)n+c2(

)n
 2 2 
5 gru 21:20
Mila: A warunki początkowe?
5 gru 21:21
Hugo: właśnie nic nie mam, poza tym co napisałem emotka warunki początkowe to rozumiem że s0 i s1 ?
5 gru 21:23
Hugo: @Adamm dziękuję ! emotka spróbuje machnąć kilka kolejnych przykładów sam
5 gru 21:23
Hugo: c') x2 = 2x +3 x2 −2x −3 = 0 delta = 4 +4*3 = 16 C1 = 2+4)/2 = 3 C2 = 2−4)/2 = −1 sn = C1(−1)n + C23n , zgodnie z kluczem emotka b) Sn+1 = −4sn +5sn1 x2 = −4x + 5 x2 +4x −5 = 0 delta = b2 − 4ac = 16+20 = 36 >0 C2 = (−4−6)/2 = −5 C1 = (−4+6)/2 = 1 sn = C2(−5)n + C1n dobrze emotka wdl klucza
5 gru 21:50
Hugo: co w przypadku takiego trudniejszego: d') Sn+1 = 6sn − 5sn1emotka ? s0 = 5 , s1 = 1 klucz: sn = 6 − 5n
5 gru 21:55
Satan: λ2 − 6λ + 5 = 0 λ1 = 1 λ2 = 5 Sn = a(1)n + b(5)2 S0 = a(1)0 + b(5)0 S1 = a(1)1 + b(5)1 Stąd mamy: a + b = 5 a + 5b = 1 Czyli: a = 1 − 5b 1 − 4b = 5 4b = −4 b = −1 Czyli a = 6 Więc: Sn = 6(1)2 + (−1)(5)2 Sn = 6 − 5n
5 gru 22:06
Hugo: x = 6x − 5 x − 6x + 5 = 0 delta = 36+20 = 54 54 = 36 = p x1= (6+p)/2 x2= (6−p)/2 sn = C1*((6+p)/2)n + C1*((6−p)/2)n cos to chyba zle jestemotka
5 gru 22:07
Satan: Korekta: W drugiej linijce od dołu zamiast kwadratu powinno być "n"
5 gru 22:07
Satan: Hugo, bo: Δ = b2 − 4ac Czyli: Δ = (−6)2 −4*1*5 = 36 − 20
5 gru 22:08
Hugo: @Satan czyli wgl bez delty, samo podstawienia emotka dzieki
5 gru 22:09
Hugo: racja, rozumiem ze jak bym dał tam dobry znak to tez moglo by wyjsc, ale Twoje lepsze !
5 gru 22:10
Satan: Generalnie to, co napisałem korzysta z tego, co napisał Adamm, bo po drodze powinienem jeszcze trochę się narobić, by dotrzeć do tej postaci emotka
5 gru 22:14
Mila: sn+1 = 6sn − 5sn−1 − równanie jednorodne s0 = 5 , s1 = 1 1) równanie charakterystyczne: x2−6x+5=0 x1=1 lub x2=5 2) Rozwiązanie ma postać: sn=A*1n+B*5n Z warunków początkowych wyznaczamy wsp. A i B s0=5=A+B*50 s1=1=A+B*51 A+B=5 A+5B=1 ===== odejmuję stronami −4B=4, B=−1 A+(−1)=5 A=6, B=−1 sn=6−5n ==========
5 gru 22:18
Mila: sn+1 = 6sn − 5sn−1 Możesz sprawdzić ( np. na kolokwium) Z rekurencji: s2=6s1−5s0=6*1−5*5=−19 s3=6s2−5s1=6*(−19)−5*1=−114−5=−119 Wg otrzymanego wzoru: s2=6−52=−19 s3=6−53=6−125=−119
5 gru 22:23
Hugo: Fajne dziękuję emotka
5 gru 22:47
Mila: emotka
5 gru 22:50
Hugo: idąc kolejnymi przykładami... mamy takie 2n Sn+1 = 3sn−2sn1 + 2n nie ma podanych: s0 i s1 to można tak wyciąć? bez 2n? x2 = 3x −2 x2 −3 +2 = 0 delta = 9−8 = 1 C1 = (3+1)/2 = 2 C2 = (3−1)/2 = 1 Sn = C1 * 2n + C2 * 1n co należy uczynić z tym 2n? n(An+B)?
5 gru 23:02
Mila: (*) sn+1 = 3sn−2sn−1 + 2n− równanie niejednorodne x2 −3x +2 = 0 r. charakterystyczne x1=2 lub x2=1 sn(1)=A*2n+B sn(2)=C*n*2n, (gdyby 2 nie było roz. równania char. to byłoby : C*2n) sn=sn(1)+sn(2) 1) wyznaczamy C , podstawiamy do (*) C*n*2n C*(n+1)*2n+1=3*C*n*2n−2*C*(n−1)*2n−1+2n /:2n 2C(n+1)=3Cn−C(n−1)+1 2C*n+2C=3C*n−C*n+C+1 C=1 sn(2)=n*2n sn=A*2n+B+n*2n Do wyznaczenia A i B potrzebne a0 ,a1 Posprawdzaj rachunkiemotka
5 gru 23:57
Mila: Dobranoc emotka
5 gru 23:58
Mariusz: Hugo na dyskretnej dla informatyków powinieneś mieć też funkcje tworzące (do rozwiązywania równań rekurencyjnych przydają się dwie zwykła, geometryczna i wykładnicza zwykła dla ciągu jedynek generuje szereg geometryczny wykładnicza dla ciągu jedynek generuje funkcję wykładniczą − a konkretnie jej rozwinięcie w szereg) sn+1 = sn + 3sn−1 sn=sn−1+3sn−2 S(x)=∑n=0snxnn=2snxn=∑n=2sn−1xn+∑n=23sn−2xnn=2snxn=x(∑n=1snxn)+3x2(∑n=0snxn) ∑n=0snxn−s0−s1x=x(∑n=0snxn−s0)+3x2(∑n=0snxn) S(x)−s0−s1x=x(S(x)−s0)+3x2S(x) S(x)−s0−s1x=xS(x)−xs0+3x2S(x) S(x)(1−x−3x2)=s0+(s1−s0)x
 s0+(s1−s0)x 
S(x)=

 1−x−3x2 
 A B 
S(x)=

+

 1−λ1x 1−λ2x 
 A(1−λ2x)+B(1−λ1x) 
S(x)=

 (1−λ1x)(1−λ2x) 
A+B=s0 −λ2A−λ1B=s1−s0 λ2A+λ2B=λ2s0 −λ2A−λ1B=s1−s02−λ1)B=s1+(λ2−1)s0
 s1+(λ2−1)s0 
B=

 λ2−λ1 
λ1A+λ1B=λ1s0 −λ2A−λ1B=s1−s01−λ2)A=s1+(λ1−1)s0
 s1+(λ1−1)s0 
A=−

 λ2−λ1 
 s1+(λ1−1)s0 
A=−

 λ2−λ1 
 s1+(λ2−1)s0 
B=

 λ2−λ1 
(1−λ1x)(1−λ2x)=1−x−3x2 1−λ2x−λ1x+λ1λ2x2=1−x−3x2 1−(λ12)x+λ1λ2x2=1−x−3x2 λ12=1 λ1λ2=−3 λ2−λ−3=0
 1−13 
λ1=

 2 
 1+13 
λ2=

 2 
(1+13)−(1−13) 

=13
2 
 
 1+13 
−s1+

s0
 2 
 
A=

 13 
 
 1−13 
s1

s0
 2 
 
B=

 13 
 
 1+13 
−s1+

s0
 2 
 1 
S(x)=


+
 13 
 1−13 
1−(

)x
 2 
 
 1−13 
s1

s0
 2 
1 


13
 1+13 
1−(

)x
 2 
 
 1−13 1+13 
sn=A(

)n+B(

)}{n}
 2 2 
6 gru 13:40