Równanie rekurencyjne niejednorodne Michał K: Cześć. Mam rozwiązać zależność rekurencyjną: Sn+1=14Sn−49Sn−1 S0=−1 S1=−14 Mam problem z f(n)=25n*4n+1 Czy Sn wynosi A*4n+1*n1? Po obliczeniu A, Sn wychodzi mi 10n*4n*n co jest błędnym wynikiem
4 gru 19:15
jc: Sn = (A+Bn)7n
4 gru 19:23
jc: A=B=−1
4 gru 19:24
Mariusz: Funkcja tworząca jest wygodniesza Możesz też metodą analogiczną do równań różniczkowych Równanie jednorodne przekształcasz w układ równań i rozwiązujesz algebraicznie korzystając z wartości i wektorów własnych Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego rozwiązujesz uzmienniając stałe
4 gru 19:43
jc: Mariusz, w tym wypadku na pewno nie jest wygodniejsza. Pół strony zapiszesz, zanim uzyskasz rozwiązanie.
4 gru 19:52
Mariusz: Zacytuję wpis ABC " Poprzednik podał link gdzie opluto klasyczne metody. Ja nie jestem wielkim ich obrońcą, a jednak da się nimi policzyć, i widać przynajmniej co się dzieje, a nie używa się wzorów bez uzasadnienia. " Kiedyś ABC napisał to w temacie dotyczącym rozwiązywania równań czwartego stopnia ale można odnieść także do twojego wpisu
4 gru 20:16
Mila: Podałeś równanie jednorodne, a w temacie piszesz r. niejednorodne? Sn+1=14Sn−49Sn−1+ 25n*4n+1 ?
4 gru 20:28
Mariusz: jc próbowałeś tej metody Jednorodne zapisać w postaci równoważnego układu równań i rozwiązać metodą algebraiczną (wartości i wektory własne do diagonalizacji lub dwumian Newtona , dwumian Newtona tylko dla macierzy komutujących ale i tak stosowany jest dla macierzy niediagonalizowalnych) Rozwiązanie szczególne niejednorodnego znajdujesz uzmienniając stałe W przypadku równań różniczkowych rozwiązaniem układu jest y=eAty0 a w przypadku układów równań rekurencyjnych y=Any0 W przypadku równań różniczkowych uzmienniając stałe rozwiązujemy układ równań korzystając z Wrońskianu W przypadku równań rekurencyjnych uzmienniając stałe rozwiązujemy układ równań korzystając z Casoratianu To podejście jest analogiczne do równań różniczkowych ale nie wymaga zgadywania
4 gru 20:37
Mila: Mariuszu, Pan JC proponuje rozwiązania proste i eleganckie. Są pewne metody proste i nic się nie zgaduje, bo dawno zostały odkryte , uzasadnione i są metody bardziej czasochłonne.
4 gru 20:42
jc: Mariusz, to jest to samo, albo raczej, wnioskiem z "metody algebraicznej" jest postać, którą napisałem. tn+1=sn sn+1=14sn−49tn Dalej potęgujesz macierz.
nawias
0 1
nawias
nawias
−49 14
nawias
 
 
4 gru 20:48
ABC: Mariusz widzę że zacytowałeś mnie emotka utkwił ci tamten osobnik w pamięci choć to już tyle lat.
4 gru 20:52
jc: Mariusz, a tu masz zastosowanie rozkładu Jordana.
nawias
0 1
nawias
nawias
−49 14
nawias
 
nawias
7 0
nawias
nawias
0 7
nawias
 
nawias
−7 1
nawias
nawias
−49 7
nawias
 
=
+
   
nawias
−7 1
nawias
nawias
−49 7
nawias
 
2=0
 
nawias
0 1
nawias
nawias
−49 14
nawias
 
nawias
7 0
nawias
nawias
0 7
nawias
 
nawias
−7 1
nawias
nawias
−49 7
nawias
nawias
7 0
nawias
nawias
0 7
nawias
 
n =
n + n
n−1
   
4 gru 21:12
Mariusz: Mila: Użytkownik podał część niejednorodną Jest nią f(n)=25n*4n+1 czyli równanie można zapisać tak Sn+1=14Sn−49Sn−1+100n4n S0=−1 S1=−14
4 gru 21:13
jc: Możemy się co najwyżej domyślać. Ja myślałem, że f było zaproponowanym rozwiązaniem.
4 gru 21:21
Mariusz: Tak jak się lepiej wczytałem to macie rację że on potraktował f(n) jako rozwiązanie a może być co najwyżej częścią niejednorodną
4 gru 21:28
Mariusz: ABC podoba mi się ten cytat dlatego lubię metody dość ogólne i takie w których każdy krok wynika z poprzedniego dlatego lubię takie metody jak użycie funkcji tworzącej a z równań wielomianowych to np wzory Cardana wraz ze sposobem ich wyprowadzenia czy metodę Ferrariego http://www-users.mat.uni.torun.pl/~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf Widziałeś ten pdf ? Akurat miałem okazję chodzić na ten uniwersytet i właśnie na wydział matematyki Jak kończyłem liceum to matematykę można było kończyć razem z fizyką (dwa w jednym) Teraz matematyka jest z informatyką Niby nie ma się czym chwalić bo raz że zaoczne dwa że ledwo zdałem
4 gru 21:46
ABC: Poczytam sobie ten pdf w wolnej chwili dzięki za link emotka miałeś zajęcia z Górniewiczem czy już go nie było za twoich czasów?
4 gru 21:51
Michał K: Przepraszam za zamieszanie. Oczywiście równanie jest w postaci Sn+1=14Sn−49Sn−1+100*n*4n I nadal mam problem z tą częścią niejednorodną. Jak ją zapisać?
4 gru 22:09
jc: Dobierz C i D tak, aby (C+Dn)4n było rozwiązaniem.
4 gru 22:31
Mariusz: Z Górniewiczem nie Wykładał na umk ? Jak chodziłem to przedmiotów informatycznych uczyli matematycy np kurs C/C++ prowadził koleś od algebry liniowej
4 gru 22:51
Mila: (*) sn+1=14sn−49sn−1+100n*4n s0=−1, s1=−14 1) Równanie charakterystyczne: x2−14x+49=0 (x−7)2=0⇔x=7 sn(1)=A*7n+B*n*7n sn(2)=(Cn+D)*4n podstawiamy do (*) 2) [C(n+1)+D]*4n+1=14*[Cn+D]*4n−49*[C(n−1)+D*4n−1+100n*4n /:4n
 49 
[Cn+C+D]*4=14Cn+14D−

*[Cn−C+D]+100n po wykonaniu działań:
 4 
9C*n−33C+9D=100n 9C=100 i −33C+9D=0
 100 1100 
C=

, D=

 9 27 
 100 1100 
3) sn(2)=(

n+

)*4n
 9 27 
 300 1100 
sn(2)=(

n+

)*4n
 27 27 
 25 
sn(2)=(3n+11)*

*4n+2
 27 
4)
 25 
sn=A*7n+B*n*7n+(3n+11)*

*4n+2
 27 
 25 4427 
−1=A+11*

*16⇔A=−

 27 27 
 4427 25 
−14=7*(−

)+7B+(14)*

*43
 27 27 
B=1173
 1 
sn=

*[ 7n(−4427+1173n)+(3n+11)*25*4n+2]
 27 
=======================================
5 gru 00:12
Mila: Mariuszu rozwiąż za pomocą funkcji tworzącej emotka
5 gru 17:08