Podprzestrzenie Arek: Zbadaj które z następujących podzbiorów przestrzeni liniowej R3 są podprzestrzeniami: A={(x, y, z); 7x=3y − 3z}, B={(x, y, z); |2x| + 5y2 − 3z=2},
2 gru 16:17
iteRacj@: a/ zbiór rozwiązań równania 7x=3y−3z jest podprzestrzenią liniową b/ zbiór rozwiązań równania |2x|+5y2−3z=2 nie jest podprzestrzenią liniową
2 gru 19:45
Arek: Zgadza się, a pokazał byś mi jak do tego doszedłeś?
6 gru 20:14
jc: A − rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń B − rozwiązania innych równać na ogół nie tworzą podprzestrzeni. (x,y,z)=(1,0,0) jest rozwiązaniem ale (x,y,z)=2(1,0,0) już nie jest.
6 gru 20:52
iteRacj@: b/ nie jest podprzestrzenią liniową bo nie należy do niej 0=(0,0,0) [dlatego że nie jest rozwiązaniem tego równania], a każda podprzestrzeń liniowa zawiera wektor zerowy
6 gru 20:55
Arek: Moglibyście to jeszcze rozpisać, bo w ogóle tego nie rozumiem co i jak
6 gru 21:25
iteRacj@: Niepusty podzbiór W przestrzeni liniowej P nad ciałem K jest podprzestrzenią liniową, jeśli: v, w ∊ W ⇒ v + w ∊ W, w ∊ W ⇒ α*w ∊ W dla α ∊ K a/ 7x=3y−3z ⇔ −7x+3y−3z=0 sprawdzamy czy jest spełniony warunek pierwszy zakładamy że [x1,y1,z1] , [x2,y2,z2] ∊ W czyli −7x1+3y1−3z1=0 oraz −7x2+3y2−3z2=0 −7(x1+x2)+3(y1+y2)−3(z1+z2)= =(−7x1+3y1−3z1)+(−7x2+3y2−3z2)=0+0=0 więc [x1+x2,y1+y2,z1+z2] ∊ W, warunek jest spełniony sprawdzamy czy jest spełniony warunek drugi zakładamy że [x1,y1,z1] ∊ W α(−7x1)+α3y1−α3z1=α(−7x1+3y1−3z1)=α*0=0 więc [αx1, αy1, αz1] ∊ W, warunek spełniony zbiór rozwiązań równania 7x=3y−3z jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej R3
6 gru 22:38
iteRacj@: b/ zbiór rozwiązań równania |2x|+5y2−3z=2 nie spełnia warunku drugiego dla np. α=2 tak jak napisał jc 20:52 (x,y,z)=(1,0,0) ∊ W ale 2(1,0,0) ∉ W
6 gru 22:45
jc: iteRacja, Twój argument podpada pod tą samą własność. Jeśli mielibyśmy jakieś rozwiązanie np. (1,5,2), to 0(1,5,3)=(0,0,0) też musiałoby być rozwiązaniem, a nie jest. Rzeczywiste rozwiązania równania (x+y+z)2+(x−y+z)2=0 też tworzą podprzestrzeń.
6 gru 23:02