Sprawdz czy gradient jest prostopały do poziomicy Domi: Sprawdzić, że wektor grad(1,2) jest prostopadły do poziomicy z=−3 z=−x² + y² −3xy Bardzo proszę o dokładne rozpisanie tego zadnia

jc: Nie bardzo wiadomo, o co chodzi. Poziomica z=−3: f=−x²+y²−3xy=−3 Punkt (1,2) faktycznie leży na poziomicy z=−3. Wektor prostopadły do poziomicy w punkcie (1,2): (f_x,f_y)=(−2x−3y,2y−3x)=(−8, 1)

Domi: Mamy sprawdzić, czy gradient funkcji z w punkcie (1,2) jest prostopadły do poziomicy funkcji w tym właśnie punkcie. Wiemy, że gradient funkcji jest zawsze prostopadły do poziomicy, tyle że mamy to tak jakby udowodnić (widzimisię wykładowcy) Z tego co wiem, to musimy wyznaczyć wektor prostopadły do stycznej w tym punkcie i zrobić iloczyn skalarny z gradientem, problem właśnie jest z wyznaczeniem tego wektora stycznego. Chciałem przedstawić to jako funkcję jednej zmiennej i policzyć styczną ze wzoru, ale nie mam pojęcia jak to przekształcić. Macie jakiś pomysł?

jc: O gradiencie jakiej funkcji mówisz? Styczna do poziomicy opisana jest wzorem −8x+y=−6.

jc: Domyślam się, że chodzi o gradient funkcji f=−x²+y²−3xy. Styczna jest wyznaczona przez wektor styczny. Załóżmy, że poruszamy się po poziomicy. t→(x,y) Zatem złożenie t→−x²+y²−3xy jest funkcją stałą. Pochodna = 0. Różniczkujemy 0=−2x dx/dt + 2y dy/dt − 3x dy/dt − 3y dx/dt =0 Inaczej (−2x −3y, 2y − 3x)*(dx/dt, dy/xt)=0 Oznacza to, że gradient = (−2x −3y, 2y − 3x) jest prospadły do wektora stycznego = (dx/dt, dy/dt), a więc do stycznej.

jc: No to chyba to napisałem. Powtórzę. Poruszamy się poziomicy. W chili t znajdujemy się w punkcie (x(t),y(t)). Wynika stąd, że f(x(t),y(t)) jest wielkością stałą (nie zależy od t).