Funkcje - matematyka dyskretna Michał: @mat https://puu.sh/wPAGX/946f51652c.png − Witam, prosiłbym o ogólny schemat zadań. Nie chodzi mi o to, żeby zrobić to za mnie, bo uczę się dla siebie, tylko o krótkie wytłumaczenie dlaczego coś działa w dany sposób. 9) Funkcja jest odwracalna jeśli jest identycznościowa i przekształca zbiór S → T. Wiemy, że f i g są odwracalne, więc są również identycznościowymi funkcjami, tylko musimy jeszcze sprawdzić czy przekształcają zbiory. g o f = g(f(S)) = g(T) = U, => Więc g o f przekształca S → T → U, czyli jest odwracalna. To tyle? Druga część zadania: (g o f)⁻¹ = f⁻¹ o g⁻¹ g o f = S → U, więc (g o f)⁻¹ = U → S ? f⁻¹ o g⁻¹ => Tutaj nie mam pomysłu 10) Jeśli f jest odwracalne, wówczas f⁻¹(f(x)) = x dla x ∊ S. I możemy zrobić to samo dla g = f⁻¹: T → S. Ponieważ wtedy g⁻¹(g(y)) = y dla y ∊ T. Następnie mamy (f⁻¹)⁻¹. Przyjęliśmy, że g = f⁻¹, więc mamy g⁻¹. g: T → S, więc g⁻¹: S → T, tak samo jak f, więc dzięki temu udowodniliśmy, że (f⁻¹)⁻¹ = f. 11) a) Nie do końca rozumiem o co tutaj chodzi. Wiem tylko, że g o f = I_S, czyli g(f(x)) jest funkcją tożsamościową, więc g(f(x)) = x. Dalej nie wiem. b) Na górze mamy założenie, że g: T → S, więc nie wiem jak mam to udowodnić. 12) a) f(x₁, y₁) = f(x₂, y₂) x₁ + y₁ = x₂ + y₂{} ∧ x₁ − y₁ = x₂ − y₂{} Czy to kończy dowód? b) Przekształca "na", ponieważ x, y ∊ R, więc x + y ∊ R oraz x − y ∊ R. c) Nie mam pojęcia jak znaleźć funkcję odwrotną, gdy ma dwa elementy. d) j/w

mat: zadanie 9 tzn to co napisałeś to prawda (prócz fragmentu: Funkcja jest odwracalna jeśli jest identycznościowa i przekształca zbiór S → T. Wiemy, że f i g są odwracalne, więc są również identycznościowymi funkcjami, ) To złożenie funkcji i jej odwrotnej jest identycznością! ale nie za duzo to nam daje ja bym zrobil tak: f odwracalana, więc istneieje f⁻¹ ze f o f⁻¹ = id g odwracalna, więc istnieje g⁻¹ ze g o g⁻¹ = id Wskaże funckje odwrotną do g o f. Będzie to (f⁻¹ o g⁻¹)! Czemu? (g o f) o (f⁻¹ o g⁻¹)(x) =g o (f o f⁻¹) o g⁻¹ (x) =g o id o g⁻¹ (x) =g o g⁻¹ (x) =id(x) więc rzeczywiście (f⁻¹ o g⁻¹) to odwrotna dla g o f ############ Zadanie 10 Nie do konca zrozumialem, wiec tez rozpisze: Z założenia istnieje f⁻¹ taka, że f⁻¹(f(x))=x ale jezeli bysmy rozwazali f⁻¹, to dla niej odwrotną jest f (równość wyżej), więc (f⁻¹)⁻¹=f 11,12 jutro..

Michał: 9) Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy jeśli jest różnowartościowa i przekształca zbiór S na zbiór T. Wiemy, że f i g są odwracalne, więc są również funkcjami różnowartościowymi. Nie wiem co mi się umyślało, żeby napisać, że chodzi o identycznościowe... Nie do końca rozumiem krok: = g o id o g−1 (x) => Tutaj rozumiem, ponieważ f o f⁻¹ z definicji daje nam id = g o g−1 (x) => Gdzie teraz jest id? = id(x) => Dlaczego tutaj jest id(x), rozumiem że z definicji g⁻¹(g(x)) = x, ale co się stało z id z poprzedniego kroku? 10) Dokładnie o to samo mi chodziło, po prostu rozpisałem to na zbiorach, aby to udowodnić (nie wiem czy dobrze). Dzięki za pomoc.

jc: Aby h było funkcją odwrotną do f powinny istnieć dwa złożenia: hof i hof, i każde powinno być identycznością (jedno to za mało).

Michał: 14. b) Pokaż, że A ⊆ f^←(f(A)) dla dowolnego podzbioru A zbioru S. Koncepcja przeciwobrazu polega na tym, że np. f(x) = 2x i wtedy f^←(2) = 1? Czyli powiedzmy: t ∊ f^←(f(A)) t = f^←(s), s ∊ f(A) A ∊ f^←(s) A ∊ t A ⊆ f^←(f(A)) Tylko mnie zastanawia dlaczego A zawiera się w tej funkcji.