Strumień przez powierzchnię. Ada: rysunekZadanie z egzaminu. Chodzi o to jakie trzeba tu dopisać komentarze, żeby było dobrze. Niech S będzie powierzchnią boczna ostrosłupa o wierzchołkach ABCD o podstawie ABC, gdzie A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,0,1) i D=(0,0,2). Oblicz strumień pola wektorowego F=(x, −y, z2) przez wewnętrzną stronę powierzchni S. Powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z trzech trójkątów, ostrosłupa bez podstawy. Można korzystając z twierdzenia Gaussa−Ostrogradskiego policzyć strumień całego ostrosłupa (jego powierzchnia jest zamknięta) i odjąć strumień przechodzący przez podstawę. Twierdzenie Gaussa zakłada, że powierzchnia zorientowana jest zewnętrznie, z tym, że istnienie jednej całki (zorientowanej np. zewnętrznie) implikuje istnienie drugiej całki. Są one sobie równe co do wartości, mają jednak przeciwnie skierowane znaki. Więc: S−powierzchnia całego ostrosłupa. I1=∫∫S=−∫∫∫VdivFdV
    
divF=[

,

,

]•[x, −y, z2]=
 ∂ x ∂ y ∂ z 
1−1+2z=2z=4(1−x−y) x∊[0,a] y∊[0,−x+a] z∊[0,2(1−x−y)] I1=−∫01 dx ∫0−x+1dy∫02(1−x−y)4(1−x−y) dz = −4∫01 dx ∫0−x+1 2(1−x−y)2 dy= −8∫01 dx ∫0−x+1[(1−x)2−2(1−x)y+y2]dy=
 1 
−8∫01 [(1−x)3−(1−x)3+

(1−x)3]dx=−3∫01(1−2x+x2)dx=
 3 
 1 1 
−3[x−x2+

x3]10=−3[1−1+

]=−1
 3 3 
Strumień przenikający przez podstawę: S: y(x)=−z+1 z=0 I2=∫∫S1FdS = 0 −> równoległa do z. I=−1
13 lut 22:56
Ada: Dla jasności. Egzamin już był emotka
13 lut 23:09