matematyka.pisz.pl EGZAMIN GIMNAZJALNY MATURA forum zadankowe liczby i wyrażenia algebraiczne logika, zbiory, przedziały wartość bezwzględna funkcja i jej własności funkcja liniowa funkcja kwadratowa wielomiany funkcja wymierna funkcja wykładnicza logarytmy ciągi liczbowe granica ciągu i funkcji pochodna i całka funkcji trygonometria geometria na płaszczyźnie geometria analityczna geometria w przestrzeni kombinatoryka prawdopodobieństwo elementy statystyki gra w kropki
liczby rzeczywiste / udowodnij... Kasia: Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają równanie: a+ b + c= 1. Dowieść, że: ab + bc + ac jest mniejsze bądź równe 1/3.
18 paź 10:23
Andrzej: Zacznę od oczywistej oczywistości: (a−b)2+(b−c)2(a−c)2 ≥ 0. Wykonuję potęgowania i iloczyny przenoszę na drugą stronę, dzielę obie strony przez 2. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc oznaczam tę nierówność (*) A teraz do zadania. a + b + c = 1 podnoszę do kwadratu obie strony (a + b + c)2 = 1 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac czyli a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1 na podstawie nierówności (*) ab + ac + bc + 2ab + 2bc + 2ac ≤ 1 3ab + 3ac + 3bc ≤ 1
 1 
ab + ac + bc ≤

cbdo
 3 
18 paź 16:09
Andrzej: chochlik mi zjadł jednego plusa między nawiasami w pierwszej linijce... powinno być (a−b)2 + (b−c)2 + (a−c)2 ≥ 0
18 paź 16:12
Eta: Można też tak; ( jak ktoś zna drugą "oczywistą oczywistość") średnia kwadratowa ≥średnia arytmetyczna
 a2 +b2 +c2 a+b+c 


 3 3 
i a+b+c = 1 podnosząc obustronnie do kwadratu , otrzymamy:
a2+b2+c2 1 


3 9 
to: a2+b2+c213 (a+b+c)2 −2( ab +ac +bc) ≥ 13 −2(ab +ac +bc) ≥ 13 −1 /:(−2) ab +ac +bc ≤ 1216 ab +bc + ac ≤ 26 ab +ac +bc ≤ 13 c.b.d.o. PS: tak z nudów to napisałam emotka
18 paź 21:32