matematyka.pisz.pl EGZAMIN GIMNAZJALNY MATURA forum zadankowe liczby i wyrażenia algebraiczne logika, zbiory, przedziały wartość bezwzględna funkcja i jej własności funkcja liniowa funkcja kwadratowa wielomiany funkcja wymierna funkcja wykładnicza logarytmy ciągi liczbowe granica ciągu i funkcji pochodna i całka funkcji trygonometria geometria na płaszczyźnie geometria analityczna geometria w przestrzeni kombinatoryka prawdopodobieństwo elementy statystyki gra w kropki
Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną? Kun: Mam problem z pewnym zadankiem : Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną? a) tgα + ctgα=2sin2α b) (sinα + cosα)2 = sin2α c) cos4α − sin4α = cos2α Wiem ,że muszę zacząć od założeń ,ale jak je zapisać ? nie mam pojęcia. Wiem ,że mam zacząć np. : sin2α≠0 a co dalej to nie wiem emotka proszę o jak wytłumaczenie jak najprostszym językiememotka
18 wrz 21:02
5-latek:
 sinx cosx 
a)

+

= do wspolnego mianownika i licz
 cosx sinx 
Poza tym masz tu jedynke trygonometryczna bo tgx+ctgx=1
18 wrz 21:15
PW: Założenia (dziedzina) jak dla każdego wyrażenia. W tych zadaniach przeważnie idzie o to, by mianownik nie był zerem. Jak najprościej? Najpierw zawsze podstawić jakiś "ładny" kąt i zobaczyć, czy przypadkiem nie otrzymamy po obu stronach różnych liczb. Co za ulga, nic nie musimy dowodzić, nie jest to tożsamość. Jeżeli się nie udaje w ten sposób, to trzeba przekształcać jedną stronę (praktycznie tę zapisaną bardziej skomplikowanym wyrażeniem) dotąd, aż uzyskamy to co po drugiej stronie. Na przykład b) − bo nie trzeba żadnych założeń, tzn.dziedziną jest R. Sprawdzenie dla α=π L=(lewa strona domniemanej tożsamości)=(sinα+cosα)2=(sinπ+cosπ)2=(0−1)2=1 P=sin2π=0 L≠P Nie jest to tożsamość.
18 wrz 21:20
Kun: (sinα+cosα)2=(sinπ+cosπ)2 mogę wiedzieć skąd się to wzięło ?
18 wrz 21:26
Basia: to "=" nie jest tak do końca uprawnione lewa strona dla α=180o (czyli π w radianach) ma wartość L(180o) = (sin180+cos180)2 = (0−1)2 = 1 P(180o) = sin360 = 0
18 wrz 21:34
PW: Mówię: sprawdzić dla jakiegoś kąta, dla którego znasz wartości funkcji trygonometrycznych, np. 30°, 90°, 180°.Akurat wziąłem 180°, bo jestem leniwy i nie chciało mi się liczyć ułamków. Na ogół, jeśli coś nie jest tożsamością, udaje się od razu pokazać, że lewa strona nie jest równa prawej. Sprawdź sam dla α=30°.
18 wrz 21:36
Eta: b) P=sin2α L= sin2α+2sinα*cosα+cos2α= 1+2sinα*cosα= 1+sin2α ≠ P zatem : nie jest tożsamością emotka
18 wrz 21:40
Eta: c) L=(cos2α+sin2α)(cos2α−sin2α)= 1*cos2α= cos2α= P zatem : jest tożsamością
18 wrz 21:42
Eta: @"małolatka" emotka tgα*ctgα= 1 , a tgα+ctgα≠1
18 wrz 21:44
Kun: (sinα + cosα)2 = sin2α L(30°)=(sin30° + cos 30°)2 = 12+32 P(30°)=(sin2 30°) = 2*12= 1 coś takiego ?
18 wrz 21:45
PW: Tak, tyle że nie podniosłeś do kwadratu, a sin(2•30°)=sin60°=...
18 wrz 21:49
Kun: @Eta z jakiej własności to się wzięło : 1+2sinα*cosα= 1+sin2α ?
18 wrz 21:49
Eta: 2sinα*cosα= sin2α
18 wrz 21:50
18 wrz 21:51
Kun: @PW: L(30°)=(sin30° + cos 30°)2 = (12+√32)2 = 14+34+34= 1+{3{4}} P(30°)=(sin2 30°) = 2*12= 1 P≠L tak ?
18 wrz 21:53
Kun: @Eta Okej dzięki emotka Dobra to mam teraz kilka najważniejszych pytań: 1) Czy w tego typu zadaniach najprościej jest podstawić pod α wartość np. 30 lub 60 lub 90 stopni i wyliczyć sobie czy L=P ? czy zawsze tak można ? 2) Jeżeli mi wyjdzie ,że L=P to jak liczyć tą dziedzinę ?
18 wrz 21:56
5-latek: Dobry wieczor Eta emotkajak zwykle musze cos nie tak napisac. jasne ze tgx*ctgx=1. To przez roztargnienie . Myslami jestem przy przerobkach w domu (musze zdazyc przed pazdziernikiem ) dziekuje za sprostowanie i pozdrawiam emotka
18 wrz 21:56
Kun: @5−latek nie ma problemu emotka
18 wrz 21:57
Eta: emotka emotka
18 wrz 21:57
PW:
 3 
Nie! sin(2•30°)=sin60°=

(przecie taką tabelkę powinieneś umieć na pamięć).
 2 
Funkcja sinus nie jest liniowa, nieprawda że sin2α=2sinα, Eta przed chwilą napisała wzór. W tym prostym rachunku nie trzeba tego wzoru stosować, tylko zauważyć, że 2•30=60.
18 wrz 21:59
Kun: @PW znam tabelkę na pamieć ,ale skąd wzięło się to sin(2*30°) ? kurde troszkę już późno i nie ciężko wiedza wchodzi
18 wrz 22:01
PW: sin(2•30°) to było sprawdzenie prawej strony rzekomej tożsamości dla α=30°. W takiej sytuacji lepiej odpocząć, rano lepiej się myśli.
18 wrz 22:04
Kun: Aaaa rozumiem ja zmieniałem lewą stronę a Tb chodziło o prawą w takim razie ostatnia szansa jak będzie źle to idę spać L(30°)=(sin30° + cos 30°)2 = (12+√32)2 = 14+34+√34= 1+√34 P(30°)=(sin2*30°) = sin60° = √32
18 wrz 22:07
PW: Podnoszenie do kwadratu (zgubiłeś dwójkę − masz iloczyn zamiast podwojonego iloczynu). Ułamków muszę się domyślać, popatrz po lewej stronie jak je tworzyć.
18 wrz 22:12
Kun: L(30°)=(sin30° + cos 30°)2 = (12 + 32)2 = 14 + 34 + 1*34= 1+34 to jest źle ?
18 wrz 22:16
PW:
 1 3 1 13 3 
(

+

)2 = (

)2 +2•


+ (

)2 =
 2 2 2 22 2 
 1 3 3 3 

+

+

=1+

 4 2 4 2 
Widzisz, dlaczego byłem leniwy − lepiej było wziąć α=180°.
18 wrz 22:34
Kun: @PW sorki popełniłem błąd przez to ,że piszę tutaj tymi skrótami ,w zeszycie dobrze zapisałem mam jeszcze parę pytań do Cb jeżeli możesz pomóc, było by super emotka: 1 − czy zawsze mogę używać " Twojego sposobu" z podstawieniem jakiego kolwiek kąta i zamiane to na ułamka ? 2 − czy mogę na początku zobaczyć czy tożsamość jest prawdziwa i dopiero potem wyznaczać dziedzinę ? czy muszę mieć zawsze założenia i dziedzinę ? 3 − jak wgl liczyć tą dziedzinę i robić te założenia bo w dalszym ciągu mam z tym problem 4 − czy muszę wkuwać na pamięć wszystkie wzory redukcyjne czy można to jakoś szybko wyporwadzać ? Jak odpowiedz to wieeeelki browar leci emotka
18 wrz 22:39
5-latek:
 3 3 
(1/2+

)2=(1/2)2+2*1/2*

+(3{2})2= .... policz
 2 2 
18 wrz 22:40
5-latek: A juz wiesz emotka
18 wrz 22:40
PW: Jeżeli podstawiasz na początku jakąś liczbę, to można to zrobić przed ustaleniem dziedziny (najwyżej będziesz miał pecha i samo wyjdzie w rachunkach, że ta liczba nie należy do dziedziny). Przy pewnej wprawie robi się to w pamięci (!) i pisze tylko wtedy, gdy stwierdzisz, że nie jest to tożsamość. Jeżeli po jakimś prostym podstawieniu L=P, to nie męczymy następnych podejrzanych, tylko przystępujemy do dowodu (przekształcamy np. L za pomocą znanych wzorów , aby otrzymać P). Ćwiczyć, ćwiczyć, ćwiczyć. Wzory koniecznie na pamięć, bo trzeba kojarzyć − czym można zastąpić jedno wyrażenie, aby otrzymać drugie − to pożądane.
18 wrz 22:50
Kun: A co do dziedziny jak ją liczyć i daje spokój ,idę uczyć się wzorów
18 wrz 22:53
PW: Tak samo jak we wszystkich wyrażeniach − musi się to dać obliczyć (nie może być zero w mianowniku, ujemna liczba pod pierwiastkiem itp.). Na przykład w a) trzeba zadbać, by tgα i ctgα miały sens (bo nie dla wszystkich α mają). Prawa strona już wtedy będzie miała sens − jak zrobisz, to zobaczysz. W b) i c) piszemy, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, bo sinus i cosinus mają sens dla każdej liczby (nie ma tam działań powodujących, że wyrażenie nie ma sensu). Dobranoc, bo własnemu synowi już bym dał po łbie.
18 wrz 23:04