parametr a pierwiastki
Zuzia: wyznacz parametry p i q, dla których liczba x0 jest dwukrotnym pierwiastkiem równania:
a) x3−2x2+px+q=0 x0=1
b)x3+px2+qx−2=0 x0=−1
16 paź 13:49
16 paź 14:02
loitzl9006: a) Można hornerem, można też tak:
W(x)=x3−2x2+px+q
Muszą być spełnione warunki:
W(1)=0 i W'(1)=0
a jak nie znasz pochodnych, to skorzystaj z tego, że W(x)=(x−1)2(x+q) teraz powymnażaj i
porównaj sobie współczynniki
b) podobnie jak a)
16 paź 14:07
Eta:
Jeżeli znasz pochodne , to:
W(1)=0 i W'(1)=0 W(6")= 3x2−4x+p
W(1)= 1−2+p+q=0
i W'(1)= 3−4+p=0 ⇒ p=1 to q= 0
16 paź 14:07
Eta:
16 paź 14:08
loitzl9006: Więcej nie znam sposobów, można pewnie też jakoś wzory Viete'a wykorzystać...
16 paź 14:09
Eta:
Poprawiam zapis , miało być
W'(x)= 3x2−4x+p
16 paź 14:09
loitzl9006: bo była druga pochodna z szóstki xD
16 paź 14:10
Eta:
Ze wzorów Viete
'a ax
3+bx
2+cx+d=0
to: 1+1+x
3= 2⇒ x
3=0
zatem (x−1)
2*x= x
3−2x
2+x = x
3−2x
2+px+q ⇒ p=1 i q= 0
16 paź 14:15
Eta:
@
loitzl teraz Ci pasuje ta pochodna ?
16 paź 14:16
loitzl9006: Pasuje
b) x
3+px
2+qx−2=(x+1)
2(x−2)
Dlaczego jeszcze akurat (x−2) ? Zobacz na wyraz wolny wielomianu x
3+px
2+qx−2. Jest on równy
−2. Teraz przyjrzyjmy się, ile wynosi (x+1)
2.
(x+1)
2=x
2+2x+1. Zatem wyraz wolny tego wielomianu jest 1. Teraz : przez jaki wielomian trzeba
pomnożyć, aby uzyskać wielomian x
3+px
2+qx−2. Na pewno stopnia pierwszego , a więc postaci
ax+b.
Jakie musi być a, aby dostać x
3? Musi być a=1, bo x
2*1x=x
3. Teraz b, czyli wyraz wolny. Jaki
musi być, aby powstał wielomian o wyrazie wolnym równym −2? Musi być b=−2, bo 1 (czyli wyraz
wolny wielomianu (x+1)
2 jest 1, pomnożone przez −2 daje −2).
16 paź 14:25