Gustlik ? Zosia: Gustlik, mam prośbę Czy moglbys mi wytlumaczyć w taki sposob jak tutaj: http://matematyka.pisz.pl/forum/60178.html każdy sposob wyliczania prawdopodobienstwa/kombinatoryki. Nie bardzo to wszystko rozumiem a jak Ty bys mi to wszystko wytluamczyl to z pewnoscią bym zrozumiala emotka Bardzo prosze emotka
26 kwi 12:33
Zosia:
26 kwi 22:29
Eta: emotka
27 kwi 00:37
Gustlik: Wszystko zaczyna się od reguły mnożenia − ona jest PODSTAWĄ kombinatoryki i prawdopodobieństwa. Jak ona działa? Np. idziemy do restauracji, w menu są 3 rodzaje zup i 4 rodzaje drugich dań, np. zupy: pomidorowa, ogórkowa i ziemniaczana, a II dania to kotlet schabowy, mielony, pierogi i naleśniki. Na ile sposobów można zamówić dwudaniowy obiad? Możemy zamówić np. zupę pomidorową z kotletem schabowym, z mielonym, z pierogami i z naleśnikami − razem 4 zestawy. Podobnie 4 zestawy mozna zamówić z zupą ogórkową i 4 zestawy z zupa ziemniaczaną. Razem − 12 zestawów. czyli 3 zupy * 4 II dania = 12 zestawów. Podobnie to wygląda na kostkach − rzucamy 2 razy kostką. Za pierwszym razem może być np. 1, a za drugim − każda liczba naturalna od 1 do 6, czyli z 1 na początku jest 6 możliwych wyników. Podobnie będzie, gdy na początku wypadnie 2, 3, 4, 5, 6. Z każdą liczbą w pierwszym rzucie możliwych jest 6 wyników w drugim rzucie. Czyli I rzut − 6 mozliwości, II rzut − też 6 możliwości, razem daje to 6*6=36 mozliwych wyników rzutu − będą to pary np. (1, 1), (1, 2), ... aż do (6, 5). Inny przykład to rzut kostką i monetą. Na monecie może być orzeł albo reszka, a na kostce liczba od 1 do 6. Czyli 6 wyników z orłem i 6 wyników z reszką, 6 liczb na kostce * 2 wyniki na monecie = 12 możliwych wyników takiego rzutu. Permutacje − są to n−elementowe szeregi, w których elementy mogą być ustawione w różnej kolejności. Wyobraźmy sobie, że mamy n miejsc siedzących i n osób do umieszczenia na tych miejscach. Pierwsza osoba może sobie wybrać n miejsc, druga − już tylko (n−1) miejsc, bo jedno jest zajęte, trzecia − (n−2) miejsc, bo dwa już są zajęte itd..., a ostatniej zostaje tylko jedno miejsce. Jak widać − zgodnie z reguła mnożenia daje to iloczyn n*(n−1)*(n−2)*...*1, będzie to iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n czyli n! − czytamy to jako n−silnia. Czyli ilość permutacji n−elementowych wyraża się wzorem: Pn=n! N. na ile sposobów można ustawić 5 książek na półce? P5=5!=1*2*3*4*5=120. Obrazowo: wyobraźmy sobie, że na półce wyznaczyliśmy 5 miejsc do postawienia tych książek jak gdyby "miejsc siedzących". Pierwszą książkę możemy postawić na 5 miejscach, drugą już tylko na 4, bo jedno miejsce jest zajęte, 3−cią ksiażkę na 3, 4−tą na 2, a 5 na jednym miejscu, mamy iloczyn 5*4*3*2*1=5!, stąd to n−silnia w permutacjach. Wariacje z powtórzeniami stosujemy wtedy, gdy mamy ciąg k elementów, z których każdy element może przyjmować n niekoniecznie różnych wyników (wartości) − ma znaczenie kolejność losowania. Wzór jest taki: Wnk=nk Na górze są elementy, a na dole ich wyniki (wartości) − czyli obowiązuje wzór: (ilość wyników)(ilość elementów). Wzór ten wziął się z reguły mnożenia: Element 1 − n wyników, element 2 − n wyników, ... element k − n wyników, mamy więc n*n*n*...*n=nk, bo tych "n"−ów jest k razy mnożonych przez siebie. Przykłady: 1) Rzut trzema kostkami − elementami są kostki (n=3), a wynikami są liczby od 1 do 6: W63=63=216 Związek z reguła mnożenia: Kostka K1 K2 K3 Ilość możliwych wyników 6 * 6 * 6 = 216 ← na każdej kostce jest 6 możliwych wyników − są to liczby od 1 do 6. 2) W 10−piętrowym wieżowcu wsiada do windy 6 pasażerów. Na ile sposobów mogą wysiąść? Elementami są pasażerowie, a wynikami są numery pięter, na których oni wysiadają. W106=106=1 000 000 Związek z reguła mnożenia: Pasażer P1 P2 P3 P4 P5 P6 Ilość możliwych wyników 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 1 000 000 ← każdy pasażer może wysiąść na na 10 sposobów − czyli na każdym z 10 pięter. 3) Mamy rozmieścić 3 kule w 5 szufladach. Na ile sposobów możemy to zrobić? W tego typu zadaniach należy założyć, że szuflady są ponumerowane. Elementami będą kule, a wynikami − numery szuflad, w których te kule rozmieszczono. W53=53=125 Kula K1 K2 K3 Ilość możliwych wyników 5 * 5 * 5 = 125 ← każdą kulę można umieścić na 5 sposobów − w jednej z 5 szuflad. Nalezy zauważyć, że wyniki tego typu losowań mogą się powtarzać, np. rzucając 3 kostkami możemy otrzymać wyniki np. (1, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), gdzie w nawiasach wyniki są odpowiednio kolejno dla kostek o numerach (K1, K2, K3). W przypadku pasażerów wysiadających z windy bedą to wyniki typu (1, 1, 1, 1, 1, 1) gdy wszyscy wysiądą na 1 piętrze, albo (1, 1, 2, 2, 3, 3), gdy dwóch (P1 i P2) wysiądzie na 1 piętrze, dwóch (P3 i P4) − na 2, a dwóch (P5 i P6) na 3 piętrze. W przypadku rozmieszczania kul w szufladacch będa to wyniki np. (1, 1, 1) gdy wszystkie kule trafią do szuflady nr 1, albo (1, 1, 2), gdy dwie (K1 i K2) trafią do 1 szuflady, a trzecia (K3) do szuflady nr 2. Z tego względu, że wyniki mogą się powtarzać, są to wariacje z powtórzeniami. Wariacje bez powtórzeń stosujemy wtedy, gdy mamy ciąg k elementów, z których każdy element może przyjmować n różnych wyników (wartości) − ma znaczenie kolejność losowania. A więc wyniki w ciagu nie mogą się powtarzać. Wyobraźmy sobie, że mamy n miejsc siedzących i n osób do umieszczenia na tych miejscach, jak w permutacjach, ale z tej grupy wybieramy sobie k osób i sadzamy te osoby na k miejscach w kolejności losowania. Oznaczmy sobie przez x − ilość możliwych ustawień tych k osób na k miejscach, ponieważ osoby były losowane kolejno po jednej i w takiej kolejności sadzane, będą to ciągi. Pozostaje natomiast (n−k) pozostałych osób, które mogą zająć pozostałe (n−k) miejsc w dowolnej kolejności, czyli (n−k)!, bo będą to permutacje. Z reguły mnożenia mamy więc: x*(n−k)!=n!, bo ilość ustawień tych k osób razy ilość ustawień tych (n−k) pozostałych osób musi dac razem ilość wszystkich możliwych permutacji n osób. x*(n−k)!=n! /:(n−k)!
 n! 
x=

 (n−k)! 
stąd
 n! 
Vnk=

i mamy wzór na wariacje bez powtórzeń.
 (n−k)! 
Przykład: losowanie 3 ponumerowanych od 1 do 10 kul kolejno bez zwracania: Kulę nr 1 mogę wylosować na 10 sposobów, ale kulę nr 2 − już tylko na 9, bo jedna kula została zabrana, kulę nr 3 − na 8 sposobów. Czyli z każdą losowaną kula ubywa nam 1 kula. Zatem 10*9*8=720. Będą to wariacje bez powtórzeń − wyniki kolejnych losowań nie będą mogły się powtarzać, ponieważ kule nie wracają do urny i nie ma możliwości ponownego wylosowania kuli z tym samym numerem.
 10! 10! 7!*8*9*10 
V103=

=

=

=8*9*10=720, bo 7! się skróci i pozostaje w
 (10−3)! 7! 7! 
liczniku iloczyn 8*9*10. May więc ten sam wynik, co regułą mnożenia. Przypuścmy teraz, że losujemy te k osób spośród n i pozwalamy im siadać na tych k miejscach w dowolnej kolejności. Nietrudno zauważyć, że te osoby będą się mogły "mieszać" ze sobą na k! sposobów, mamy więc k! takich ciągów, jak w wariacjach, czyli tych ciągów będzie k!*x. Będą to więc zbiory, każdy zbiór będzie zawierał k elementów (w tym przypadku k osób). Nietrudno zauważyć, że w każdym zbiorze będzie k! takich k−elementowych ciagów. No a pozostałe (n−k) osoby sadzamy na pozostałych (n−k) miejscach podobnie jak w wariacjach. Mamy więc: x*k!*(n−k)!=n! /:k!(n−k)!
 n! 
x=

 k!(n−k)! 
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 
Czyli x=
  
Stąd wzór na kombinacje − stosujemy przy losowaniu k elementów spośród n, gdy kolejnośc losowania tych elementów nie ma znaczenia:
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 n! 
Cnk=
=

  k!(n−k)! 
Przykład: Wróćmy do naszego losowania 3 ponumerowanych od 1 do 10 kul bez zwracania, ale załóżmy, że interesują nas same numery, a nie ich kolejność. Np. założyliśmy się z kolega, że gdy wylosujemy 1, 2 i 3 to wygrywamy, w przeciwnym razie przegrywamy. Mamy wtedy zbiór 3 liczb. Nietrudno zauważyć, że ten zbiór będzie zawierał 3! takich 3−wyrazowych ciągów, ale z punktu widzenia zasad gry kolejność ciągów nas nie interesuje. Nas interesuje zarówno wynik (1, 2, 3), jak i np. (2, 3, 1) itp. Zatem takich k−elementowych zbiorów mamy:
 
nawias
10
nawias
nawias
3
nawias
 10! 7!*8*9*10 
C103=
=

=

=120
  3!*7! 7!*1*2*3 
W liczniku "wyciągamy" większą silnię występującą w mianowniku, aby było mniej domnażania do końca, czyli 7!, bo od 7 blizej jest do 10, niż od 3, a tę drugą silnię w mianowniku rozpisujemy, 7! się skróci i w pozostałych iloczynach skracamy, co się da, wynik musi być liczbą naturalną. W podobny sposób działa Toto−Lotek. W LOTTO (dawny Duży Lotek) skreślamy 6 liczb z 49, możemy
 
nawias
49
nawias
nawias
6
nawias
 49! 
to zrobić na C496=
=

=13983816 sposobów.
  6!*43! 
Tu też są zbiory, bo wygrywamy wówczas, gdy padna skreślone przez nas numery, a ich kolejność jest dla nas nieistotna. Inny przykład: losowanie kart z talii.
 
nawias
52
nawias
nawias
3
nawias
 52! 
Np. losujemy 3 karty z talii 52 kart, mamy C523=
=

=22100 możliwości.
  3!*49! 
Tu też są zbiory. Załóżmy, że wylosowaliśmy np. asa pik, króla kier i damę karo. Jako gracz niezależnie od kolejności wylosowania tych kart tak samo możemy nimi zagrać w danej grze karcianej, dlatego tutaj tez mamy zbiory, a więc kombinacje. Pozdrawiam.
27 kwi 02:15
Zosia: Dziękuję Dziękuję Dziękuję
27 kwi 10:01
Gustlik: Pozdrawiam emotka
27 kwi 23:52
tyu: Ja też dziękuję
4 kwi 14:02
Janek191: Ale się Gustlik: opisał emotka
29 sie 23:40
:): Nie chce nic mówić...ale ten post ma 3,5 roku..
29 sie 23:42
Dojdyl: <3333
20 paź 13:09
Mara: Dziękuję emotka
9 gru 17:13